(x-2)^2 - x^2 - 8x+3 >= 0

x^2-4x+4 - x^2-8x +3 >=0

7>=12x

x<=12/7

x nguyên lớn nhất là 1

a) \(2{x^2} + 3x + 1 \ge 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 3x + 1\) có 2 nghiệm phân biệt \(x =  - 1,x = \frac{{ - 1}}{2}\)

hệ số \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le  - 1\\x \ge  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

b) \( - 3{x^2} + x + 1 > 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + x + 1\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = \frac{{1 - \sqrt {13} }}{6},x = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}\)

Hệ số \(a =  - 3 < 0\)

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt {13} }}{6} < x < \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\frac{{1 - \sqrt {13} }}{6};\frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}} \right)\)

c) \(4{x^2} + 4x + 1 \ge 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 4{x^2} + 4x + 1\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{ - 1}}{2}\)

hệ số \(a = 4 > 0\)

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\)

d) \( - 16{x^2} + 8x - 1 < 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 16{x^2} + 8x - 1\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{4}\)

hệ số \(a =  - 16 < 0\)

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{4}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{4}} \right\}\)

e) \(2{x^2} + x + 3 < 0\)

Ta có \(\Delta  = {1^2} - 4.2.3 =  - 23 < 0\) và có \(a = 2 > 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \(2{x^2} + x + 3\) mang dấu “-” là \(\emptyset \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} + x + 3 < 0\) là \(\emptyset \)

g) \( - 3{x^2} + 4x - 5 < 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + 4x - 5\) có \(\Delta ' = {2^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 5} \right) =  - 11 < 0\) và có \(a =  - 3 < 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \( - 3{x^2} + 4x - 5\) mang dấu “-” là \(\mathbb{R}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 3{x^2} + 4x - 5 < 0\) là \(\mathbb{R}\)

1a

x^2-8x<0

<=> x(x-8)<0

th1: x<0 và x-8>0

 x<0 và x>8

<=> 8<x<0 ( vô lý)

th2: x>0 và x-8<0

<=> x>0 và x<8

<=> 0<x<8( tm)

vậy........

a) \(x^2-8x< 0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-8\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x-8< 0\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x< 0\\x-8>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x< 8\end{cases}}\)         hoặc   \(\hept{\begin{cases}x< 0\\x>8\end{cases}}\) (loại)

\(\Leftrightarrow0< x< 8\)

b) \(x^2< 6x-5\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+5< 0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-5x+5< 0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-5\left(x-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-5\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1>0\\x-5< 0\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x-1< 0\\x-5>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x< 5\end{cases}}\)          hoặc  \(\hept{\begin{cases}x< 1\\x>5\end{cases}}\) (loại)

\(\Leftrightarrow1< x< 5\)

c) \(\frac{x-3}{x-2}< 0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3>0\\x-2< 0\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x-3< 0\\x-2>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>3\\x< 2\end{cases}}\)  (loại)  hoặc  \(\hept{\begin{cases}x< 3\\x>2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2< x< 3\)

d) \(\frac{x+1}{x-3}>2\) (ĐK: \(x\ne3\) )

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-3}-2>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1-2\left(x-3\right)}{x-3}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-x+7}{x-3}>0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-x+7>0\\x-3>0\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}-x+7< 0\\x-3< 0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-x>-7\\x>3\end{cases}}\)     hoặc  \(\hept{\begin{cases}-x< -7\\x< 3\end{cases}}\)  

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< 7\\x>3\end{cases}}\)              hoặc   \(\hept{\begin{cases}x>7\\x< 3\end{cases}}\) (loại)

\(\Leftrightarrow3< x< 7\)

2) \(\frac{1-5x}{x-1}\ge1\)  (x khác 1)

\(\Leftrightarrow\frac{1-5x}{x-1}-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1-5x-x+1}{x-1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2-6x}{x-1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2-6x\ge0\\x-1\ge0\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}2-6x\le0\\x-1\le0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-6x\ge-2\\x\ge1\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}-6x\le-2\\x\le1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le\frac{1}{3}\\x\ge1\end{cases}}\)  (loại)       hoặc  \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{1}{3}\\x\le1\end{cases}}\) \

Vậy \(\frac{1}{3}\le x\le1\)

b) \(\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x-3}>1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x-3}-1>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x-3\right)-2\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-3x-2x+4-\left(x^2-3x-2x+6\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-3x-2x+4-x^2+5x-6}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2>0\\x-3< 0\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x-2< 0\\x-3>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>2\\x< 3\end{cases}}\)          hoặc  \(\hept{\begin{cases}x< 2\\x>3\end{cases}}\) (loại)

\(\Leftrightarrow2< x< 3\)

a) Tam thức \(f(x) =  - 5{x^2} + x - 1\) có \(\Delta  =  - 19 < 0\), hệ số \(a =  - 5 < 0\) nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(\)\( - 5{x^2} + x - 1 < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

b) Tam thức \(g(x) = {x^2} - 8x + 16\) có \(\Delta  = 0\), hệ số a=1>0 nên g(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi \(x \ne 4\), tức là \({x^2} - 8x + 16 > 0\) với mọi \(x \ne 4\)

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4

c) Tam thức \(h(x) = {x^2} - x + 6\) có \(\Delta  =  - 23 < 0\), hệ số a=1>0 nên h(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \({x^2} - x + 6 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm.

a.

\(3\sqrt{-x^2+x+6}\ge2\left(1-2x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-x^2+x+6\ge0\\1-2x< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1-2x\ge0\\9\left(-x^2+x+6\right)\ge4\left(1-2x\right)^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-2\le x\le3\\x>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\25\left(x^2-x-2\right)\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}< x\le3\\\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\-1\le x\le2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1\le x\le3\)

b.

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+8x+5}-4\sqrt{x}+\sqrt{2x^2-4x+5}-2\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2+8x+5-16x}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{2x^2-4x+5-4x}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2-8x+5}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{2x^2-8x+5}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-8x+5\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{6}}{2}\)

Câu b còn 1 cách giải nữa:

Với \(x=0\) không phải nghiệm

Với \(x>0\) , chia 2 vế cho \(\sqrt{x}\) ta được:

\(\sqrt{2x+8+\dfrac{5}{x}}+\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=6\)

Đặt \(\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=t>0\Leftrightarrow2x+8+\dfrac{5}{x}=t^2+12\)

Phương trình trở thành:

\(\sqrt{t^2+12}+t=6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{t^2+12}=6-t\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-t\ge0\\t^2+12=\left(6-t\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\le6\\12t=24\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=2\)

\(\Leftrightarrow2x-4+\dfrac{5}{x}=4\)

\(\Rightarrow2x^2-8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

a: Ta có: \(8x+11-3=5x+x-3\)

\(\Leftrightarrow8x+8=6x-3\)

\(\Leftrightarrow2x=-11\)

hay \(x=-\dfrac{11}{2}\)

b: Ta có: \(2x\left(x+2\right)^2-8x^2=2\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x^3+6x^2+12x+8\right)-8x^2=2\left(x^3-8\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^4+12x^3+24x^2+16x-8x^2-2x^3+16=0\)

\(\Leftrightarrow2x^4+10x^3+16x^2+16x+16=0\)

\(\Leftrightarrow2x^4+4x^3+6x^3+12x^2+4x^2+8x+8x+16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(2x^3+6x^2+4x+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+2=0\)

hay x=-2

c: Ta có: \(\left(x+1\right)\left(2x-3\right)=\left(2x-1\right)\left(x+5\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-3x+2x-3-2x^2-10x+x+5=0\)

\(\Leftrightarrow-10x+2=0\)

\(\Leftrightarrow-10x=-2\)

hay \(x=\dfrac{1}{5}\)

d: Ta có: \(\dfrac{1}{10}-2\cdot\left(\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{10}\right)=2\left(t-\dfrac{5}{2}\right)-\dfrac{7}{10}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{10}-t+\dfrac{1}{5}=2t-5-\dfrac{7}{10}\)

\(\Leftrightarrow-t-2t=-\dfrac{57}{10}-\dfrac{3}{10}=-6\)

hay t=2