Đáp án C

Đặt  S M S A = x ( 0 < x < 1 )

Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V.

V S . M N C V S . A B C = S M . S N . S C S A . S B . S C = x 2   ( 1 )

V S . M C D V S . A C D = S M . S D . S C S A . S C . S D = x   ( 2 )

Ta có:

⇒ S A D C = 4 5 S A B C D

⇒ V S . A D C = 4 5 V S . A B C D = 4 5 V ; V S . A B C = V 5

Ta có:

V S . M N C = x 2 . V 5 ;   V S . M C D = x 4 V 5

V 1 = V S . M N C + V S . M C D = V 5 ( x 2 + 4 x )

⇒ x = - 6 + 51 3

Chọn A.

Gọi K là trung điểm của AB.

DC//AB => DC//(SAB)=> DC//MN

Do đó

Trong (SAD) do \(\dfrac{SM}{SA}\ne\dfrac{SP}{SD}\left(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{3}{4}\right)\) nên MP không song song với AD

⇒ Giả sửa MP cắt AD tai E

⇒ E ∈ (ABCD)

Trong (ABCD) gọi K là giao điểm của EN và BC

Trong (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ SO ⊂ (SBD)

Gọi giao điểm của NK và AC là I

Trong (SAC) IM cắt SO tại H

Trong (SBD) DH cắt SB tại Q

⇒ Bla bla bla gì đó

⇒ Thiết diện cần tìm là ngũ giác MPNKQ

Xét tam giác SAB ta có MN là đường trung bình suy ra MN // AB.

Mà AB // CD do đó MN // CD.

Suy ra MNCD là hình thang.

Gặp những bài cần tính toán thế này làm biếng lắm, dựng hình thì dễ chứ tính thì chả muốn tính chút xíu nào.

Trong mp đáy, kéo dài AD và BC cắt nhau tại E \(\Rightarrow D\) là trung điểm AE (đường trung bình) \(\Rightarrow AE=AB=2a\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp AB\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AD\perp SB\)

\(\Rightarrow AD\in\left(\alpha\right)\)

Trong mp (SAB), kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow M\in\left(\alpha\right)\)

Dễ dàng chứng minh tam giác ACB vuông cân tại C (Pitago đảo) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

Trong mp (SAC), kẻ \(AN\perp SC\Rightarrow AN\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AN\perp SB\Rightarrow N\in\left(\alpha\right)\)

\(\Rightarrow\) Thiết diện là tứ giác AMND

\(SB=SE=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\) ; \(AM=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=\sqrt{AC^2+SA^2}=a\sqrt{3}\)

\(CN=\dfrac{AC^2}{SC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) ; \(EC=BC=a\sqrt{2}\Rightarrow EN=\sqrt{EC^2+CN^2}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}\)

\(DE=AD=a\)

\(S_{AME}=\dfrac{1}{2}AM.AE=...\) 

\(S_{DNE}=\dfrac{1}{2}DE.EN.sin\widehat{DEN}=\dfrac{1}{2}DE.EN.\dfrac{AM}{\sqrt{AM^2+AE^2}}=...\)

\(\Rightarrow S_{AMND}=S_{AME}-S_{DNE}=...\) 

Trong trường hợp vuông góc SC:

Vẫn nối AD cắt BC tại E rồi chứng minh \(BC\perp\left(SAC\right)\)

Sau đó từ A kẻ \(AN\perp SC\) 

Trong mp (SBE), qua N kẻ đường thẳng song song BE lần lượt cắt SB tại M và cắt SE tại I

Trong mp (SAD), nối AI cắt SD tại P

Tứ giác AMNP là thiết diện cần tìm

Như câu trước, tính được \(CN=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) ; \(SC=a\sqrt{3}\Rightarrow SN=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Talet: \(\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SI}{SE}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{IM}{EB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow SM=SI=\dfrac{1}{3}SB=\dfrac{a\sqrt{5}}{3};IM=\dfrac{EB}{3}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}\)

\(AN=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\) \(\Rightarrow AI=AM=\sqrt{AN^2+\left(\dfrac{IM}{2}\right)^2}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}\)

\(\Rightarrow\Delta AIM\) đều

Trong tam giác SAE, đặt \(\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AI}\)

\(\overrightarrow{SP}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{SA}+x.\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{SA}+x\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SI}\right)=\left(1-x\right)\overrightarrow{SA}+\dfrac{x}{3}\overrightarrow{SE}\)

D là trung điểm AE \(\Rightarrow\overrightarrow{SD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SE}\)

Mà S; P; D thẳng hàng \(\Rightarrow\dfrac{1-x}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\dfrac{x}{3}}{\dfrac{1}{2}}\Leftrightarrow1-x=\dfrac{x}{3}\Rightarrow x=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow IP=\dfrac{1}{4}AI=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}\)

\(S_{AMNP}=S_{AIM}-S_{IPN}=\dfrac{1}{2}AN.IM-\dfrac{1}{2}IP.IN.sin\widehat{PIN}\)

Với chú ý rằng \(IN=\dfrac{1}{2}IM=...\) và \(\widehat{PIN}=60^0\) do tam giác AIM đều theo cmt

Đáp án A

Qua M dựng đường thắng song song AB cắt SB tại N.

Qua M dựng đường thắng song song AD cắt SD tại Q.

Qua N dựng đường thắng song song BC cắt SC tại P.

Ta có M N // A B ⇒ M N // A B C D N P // B C ⇒ N P // A B C D .

⇒ M N P Q / / A B C D .

Tương tự câu 1 ta có tỉ lệ diện tích S M N P Q S A B C D = M N A B 2 = S M S A 2 = 4 9 .

Ta có  S A B C D = 10.10 = 100   ⇔ S M N P Q = 100. 4 9 = 400 9