help me :((

Chọn C

1/ \(\lim\limits\dfrac{\dfrac{2^n}{7^n}-5.7.\left(\dfrac{7}{7}\right)^n}{\dfrac{2^n}{7^n}+\left(\dfrac{7}{7}\right)^n}=-35\)

2/ \(\lim\limits\dfrac{\dfrac{3^n}{7^n}-2.5.\left(\dfrac{5}{7}\right)^n}{\dfrac{2^n}{7^n}+\dfrac{7^n}{7^n}}=0\)

3/ \(\lim\limits\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{5}{n}-\dfrac{8n}{n}}{\dfrac{n}{n}+\dfrac{3}{n}}}=\sqrt[3]{-8}=-2\)

\(u_n=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)

\(=1-\dfrac{1}{n+1}< 1\)

=>Hàm số bị chặn trên tại \(u_n=1\)

\(n+1>=1\)

=>\(\dfrac{1}{n+1}< =1\)

=>\(-\dfrac{1}{n+1}>=-1\)

=>\(1-\dfrac{1}{n+1}>=-1+1=0\)

=>Hàm số bị chặn dưới tại 0

\(u_n=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)

\(\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{n}{n+1}:\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1}< 1\)

=>(un) là dãy số tăng

* Xét tử số: Ta thấy 1, 2, 3, 4, ...,  n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với

u 1   =   1 ; d= 1 .

Tổng n số hạng của cấp số cộng: S n = u 1 + u n n 2 = 1 + n n 2 .

* Xét mẫu số: Ta thấy 1 , 3 , 3 2 , 3 3 , ... , 3 n  là một dãy số thuộc cấp số nhân có n + 1 số hạng với u 1   =   1  ; q = 3

Tổng (n+ 1) số hạng của cấp số nhân:  S n + 1 = u 1 . 1 − q n + 1 1 − q = 1 − 3 n + 1 1 − 3 = 3 n + 1 − 1 2 .

⇒ u n = n 3 n + 1 − 1 = n 3.3 n − 1

Bằng quy nạp ta luôn có n < 2 n ,   ∀ n ∈ ℕ *  và 3 n > 1 ,   ∀ n ∈ ℕ *

⇒ u n = n 3.3 n − 1 < n 3 n < 2 n 3 n = 2 3 n

Vì lim 2 3 n = 0  nên  lim u n = 0.

Chọn đáp án A

Lời giải:

$\frac{u_{n-1}}{u_n}=\frac{n^2}{n^2-1}>0$ với mọi $n\geq 2$ nên $u_{n-1}, u_n$ luôn cùng dấu.

Mà $u_1=2017>0$ nên $u_n>0$ với mọi $n=1,2,...$

Mặt khác:

$n^2(u_{n-1}-u_n)=u_{n-1}>0\Rightarrow u_{n-1}>u_n$ nên dãy $(u_n)$ là dãy giảm.

Dãy giảm và bị chặn dưới nên $u_n$ hội tụ. Đặt $\lim u_n=a$. 

Ta có: $a=n^2(a-a)\Rightarrow a=0$

Vậy $\lim u_n=0$

\(U_n=\dfrac{an^2-1}{n^2+3}\)

\(=\dfrac{an^2+3a-3a-1}{n^2+3}\)

\(=a+\dfrac{-3a-1}{n^2+3}\)

Để dãy này là dãy tăng thì \(U_{n+1}>U_n\)

=>\(a+\dfrac{-3a-1}{\left(n+1\right)^2+3}>a+\dfrac{-3a-1}{n^2+3}\)

=>\(\dfrac{-3a-1}{\left(n+1\right)^2+3}>\dfrac{-3a-1}{n^2+3}\)

=>\(\dfrac{3a+1}{\left(n+1\right)^2+3}< \dfrac{3a+1}{n^2+3}\)(1)

TH1: 3a+1>0

=>a>-1/3

(1)=>\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}< \dfrac{1}{n^2+3}\)

=>\(\left(n+1\right)^2+3>n^2+3\)

=>\(\left(n+1\right)^2>n^2\)

=>\(n^2+2n+1-n^2>0\)

=>\(2n+1>0\)(luôn đúng với mọi n>=1)

TH2: 3a+1<0

=>a<-1/3

(2) trở thành \(\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}>\dfrac{1}{n^2+3}\)

=>\(\left(n+1\right)^2+3< n^2+3\)

=>\(n^2+2n+1-n^2< 0\)

=>2n+1<0

=>2n<-1

=>\(n< -\dfrac{1}{2}\)(loại)

Vậy: \(a>-\dfrac{1}{3}\)

- Ta có:

Chọn C