Đk: \(\forall x\in R\)

Ta có:\(\sqrt{x^2+1-2x}+\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{1+2020^2+\frac{2020^2}{2021^2}}+\frac{2020}{2021}\)

<=> \(\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}=\sqrt{1+2020^2+2.2020+\frac{2020^2}{2021^2}-2.2020}+\frac{2020}{2021}\)

<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=\sqrt{\left(1+2020\right)^2+\frac{2020^2}{2021^2}-2.2020}+\frac{2020}{2021}\)

<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=\sqrt{\left(2021-\frac{2020}{2021}\right)^2}+\frac{2020}{2021}\)

<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=\frac{2021^2-2020}{2021}+\frac{2020}{2021}\)

<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=2021\)

Lập bảng xét dầu

x                   -2                   1 

x - 1   -         |           -          0       +

x + 2   -        0         +          |            -

Xét các TH xảy ra :

TH1: x \(\le\)-2 => pt trở thành: 1 - x - x - 2 = 2021

<=> -2x = 2022 <=> x = -1011 (tm)

TH2: \(-2< x\le1\) => pt trở thành: 1 - x + x + 2 = 2021

<=> 0x = 2018 (vô lí) => pt vô nghiệm

TH3: \(x>1\) => pt trở thành: x - 1 + x + 2 = 2021

<=> 2x = 2020 <=> x = 1010 (tm)

Vậy S = {-1011; 1010}

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

- Với \(x=0\) không phải nghiệm

- Với \(x>0\) , chia 2 vế của pt cho \(x\) ta được:

\(\dfrac{4x^2+1}{x}+2\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{x}}+3-2m=0\)

Đặt \(t=\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{x}}\ge\sqrt{\dfrac{2\sqrt{4x^2}}{x}}=2\)

Pt trở thành: \(t^2+2t+3-2m=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t+3=2m\) (1)

Pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm \(t\ge2\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+2t+3\) khi \(t\ge2\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\-\dfrac{b}{2a}=-1< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến khi \(t\ge2\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge f\left(2\right)=11\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(2m\ge11\Rightarrow m\ge\dfrac{11}{2}\)

a)
\(=\sqrt{10\left(x+2\right)}=\sqrt{10}.\sqrt{x+2}\)
\(\sqrt{x+2}\ge0=>x+2\ge0=>x\ge-2\)
b)
\(=\dfrac{\sqrt{99}}{\sqrt{4x-1}}\)
\(=>4x-1>0=>4x>1=>x>\dfrac{1}{4}\)
c)
\(=\dfrac{\sqrt{-5x-10}}{\sqrt{2021}}=>-5x-10\ge0\)
\(=>-5\left(x+2\right)\ge0\)
\(=>x+2\ge0=>x\ge-2\)

a: ĐKXĐ: \(x\ge-2\)

b: ĐKXĐ: \(x>\dfrac{1}{4}\)

c: ĐKXĐ: \(x\le-2\)

\(x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Leftrightarrow2x+1=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow4x^2+4x+1=5\)

\(\Rightarrow4x^2+4x-4=0\)

\(\Rightarrow x^2+x-1=0\)

\(\Rightarrow-x^2=x-1\Rightarrow-x^3=x^2-x\)

\(B=\left[4x^3\left(x^2+x-1\right)-x^3+2x-2\right]^2+2021\)

\(=\left(-x^3+2x-2\right)^2+2021\)

\(=\left(x^2-x+2x-2\right)^2+2021\)

\(=\left(x^2+x-1-1\right)^2+2021\)

\(=\left(-1\right)^2+2021=2022\)

Ta có : \(x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow2x=\sqrt{5}-1\)

\(\Leftrightarrow2x+1=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2=5\)

\(\Rightarrow4x^2+4x+1=5\Rightarrow x^2+x-1=0\)

Khi đó ta có :

\(B=\left(4x^5+4x^4-5x^3+2x-2\right)^2+2021\)

\(=\left[\left(4x^5+4x^4-4x^3\right)-\left(x^3+x^2-x\right)+\left(x^2+x-1\right)-1\right]^2+2021\)

\(=\left[4x^3\left(x^2-x+1\right)-x\left(x^2+x-1\right)+\left(x^2+x-1\right)-1\right]^2+2021\)

\(=\left(-1\right)^2+2021=2022\)

Vậy \(B=2022\)