Cho a là một số dương lớn hơn 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. log a x y = log a x + log a y với x > 0 và y > 0
B. log a 1 = 0 ; log a a = 1
C. log a x có nghĩa với mọi x > 0
D. log a n x = 1 n log a x với x > 0 và n ∈ N
Cho bốn số thực dương a, b, x, y với \(a,b \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \({\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _b}y\).
B. \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
C. \({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\).
D. \({\log _a}b \cdot {\log _b}x = {\log _a}x\).
Cho đồ thị ba hàm số \(y = {\log _a}x,y = {\log _b}x\) và \(y = {\log _c}x\) như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(a > b > c\).
B. \(b > a > c\).
C. \(a > b > c\).
D. \(b > c > a\).
Hàm số \(y=log_cx\) nghịch biến
\(\Rightarrow0< c< 1\) và các hàm \(y=log_ax,y=log_bx\) đồng biến nên \(a,b>1\)
Ta chọn \(x=100\Rightarrow log_a>log_b100\Rightarrow a< b\Rightarrow b>a>c\)
\(\Rightarrow B\)
\(log_cx\) nghịch biến biến nên 0<c<1
\(log_ax;log_bx\) đồng biến nên a>1; b>1
=>Loại D
\(log_ax>log_bx\left(x>1\right)\)
=>\(\dfrac{1}{log_xa}< \dfrac{1}{log_xb}\)
=>a<b
=>Chọn B
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn y = 10 1 1 - log x , z = 10 1 1 - log y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án D
⇔ log z - 1 log z = 1 1 - log x
⇔ 1 - log x = log z log z - 1
⇔ log x = - 1 log z - 1 ⇔ x = 10 1 1 - log z .
Cho a , b > 0 ; a , b ≠ 1 và x, y là hai số thực dương. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. log a x y = log a x + log a y .
B. log b a . log a x = log b x .
C. log a 1 x = 1 log a x .
D. log a x y = log a x − log a y .
Cho hai số dương a và b. Đặt X = log a + b 2 , Y = log a + log b 2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng
Cho f(x) là một hàm liên tục trên R và a là một số thực lớn hơn 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. ∫ 0 a x 3 f x 2 d x = 1 2 ∫ 0 a 2 x f x d x
B. ∫ 0 π x f sin x d x = π 2 ∫ 0 π f sin x d x
C. ∫ − π π x f cos x d x = 0
D. ∫ 1 a 2 f x x d x = 1 2 ∫ 1 a f x d x
Đáp án D.
Với A: Đặt
∫ 0 a x 3 f x 2 d x = 1 2 ∫ 0 a x 2 . f x 2 2 x d x = 1 2 ∫ 0 a x 2 . f x 2 d x 2 = 1 2 ∫ 0 a 2 x . f x d x
Vậy A đúng.
Với B:
∫ 0 π x . f sin x d x = ∫ 0 π 2 x . f sin x d x + ∫ π 2 π x . f sin x d x = I 1 + I 2
Tính I 2 : Đổi biến t = π − x ⇒ x = π − t ; d x = − d t .
Đổi cận x = π → t = 0 ; x = π 2 → t = π 2 .
Từ đó
I 2 = − ∫ π 2 0 f sin π − t π − t d t = π ∫ 0 π 2 f sin t d t − I 1
⇒ I = π ∫ 0 π 2 f sin x d x = π 2 ∫ 0 π f sin x d x
Vậy B đúng.
Với C: Đổi biến tương tự B ta thấy C đúng.
Từ đây ta chọn D.
Thật vậy,
∫ 1 a 2 f x x d x = 2 ∫ 1 a 2 f x 2 x d x = 2 ∫ 1 a 2 f x d x = 2 ∫ 1 a f x d x
Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 và đồ thị của ba hàm số lôgarit \(y = {\log _a}x;\,y = {\log _b}x;\,y = {\log _c}x\) được cho bởi Hình 15. Kết luận nào sau đây là đúng với ba số a, b, c?
A. c < a < b
B. c < b < a
C. a < b < c
D. b < c < a
Đề bài
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
A. \(y = {\log _3}x\)
B. \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\)
C. \({\log _{\frac{1}{e}}}x\)
D. \(y = {\log _\pi }x\)
Vì \(\dfrac{1}{e}\simeq0,368< 1\)
\(\Rightarrow y=log_{\dfrac{1}{e}}\left(x\right)\) nghịch biến trên D = \(\left(0;+\infty\right)\)
Chọn C.
0<1/e<1
=>\(log_{\dfrac{1}{e}}\left(x\right)\) nghịch biến
=>C
Cho a, x, y là các số thực dương, a ≠ 1. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. log a x y = y log a x
B. log a x = log a y ⇔ x = y
C. log a x y = log a x − log a y
D. log a x y = log a x . log a y
Đáp án D.
Ta có log a x y = log a x + log a y nên đáp án D sai.