Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt \(\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{CA'}=\overrightarrow{v},\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{x},\overrightarrow{DB'}=\overrightarrow{y}\). Đẳng thức nào sau đây đúng/
A. \(2\overrightarrow{OI}=-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)\)
B. \(2\overrightarrow{OI}=-\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)\)
C. \(2\overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)\)
D. \(2\overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)\)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt \(\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{CA'}=\overrightarrow{v},\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{x},\overrightarrow{DB'}=\overrightarrow{y}\). Đẳng thức nào sau đây đúng/
A. \(2\overrightarrow{OI}=-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)\)
B. \(2\overrightarrow{OI}=-\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)\)
C. \(2\overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)\)
D. \(2\overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)\)
\(\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{CA'}+\overrightarrow{BD'}+\overrightarrow{DB'}\)
\(=2\left(\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{OA'}\right)+2\left(\overrightarrow{OD'}+\overrightarrow{OB'}\right)\)
\(=2.\left(-2\overrightarrow{OI}\right)+2.\left(-2\overrightarrow{OI}\right)\)
\(=-4.2\overrightarrow{OI}\)
\(\Rightarrow2\overrightarrow{OI}=-\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)\)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai?
A. I K → = 1 2 A C → = 1 2 A ' C ' →
B. Bốn điểm I,K,C,A đồng phẳng
C. B D → + 2 I K → = 2 B C →
D. Ba vecto B D → , I K → , B ' C ' → không đồng phẳng
Đáp án D
+) A đúng do tính chất đường trung bình trong ΔB'AC và tính chất của hình bình hành ACC'A'.
+) B đúng do IK // AC nên bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng.
+) C đúng do việc ta phân tích:
+) D sai do giá của ba vectơ 
đều song song hoặc trùng với mặt phẳng (ABCD). Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau
b) Chứng minh rằng đường chéo AC' đi qua trọng tâm \(G_1;G_2\) của hai tam giác BDA' và B'D'C
c) Chứng minh \(G_1;G_2\) chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau
d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA'C'C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A'IO) với hình hộp đã cho
Lời giải:
a) Tứ giác DBB'D' là hình bình hành nên BD // B'D' . Vì vậy BD // (B'D'C) và BA' // CD' \(\Rightarrow\) BA' // ( B'D'C).
Từ đó suy ra ( BDA') //B'D'C).
b) Gọi ,
là giao điểm của AC' với A'O và CO'.
Do \(G_1=A'O\cap AI\) và A'O và AI là hai đường trung tuyến của tam giác nên \(G_1\) là trọng tâm của tam giác A'AC.
Chứng minh tương tự \(G_2\) là trọng tâm tam giác CAC'.
Suy ra \(\dfrac{AG_1}{AO}=\dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{CG_2}{CO}=\dfrac{2}{3}\) nên đường chéo AC' đi qua trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C.
c) Do O và O' lần lượt là trung điểm của AC và A'C' nên \(OC=A'O'\) và OC' // A'O'.
Vì vậy tứ giác OCO'A là hình bình hành và OA'//OC.
Từ đó ta chứng minh được \(G_1\) lần lượt là trung điểm của \(AG_1\) và \(G_2\) là trung điểm của \(G_1C'\).
Do đó: \(AG_1=G_1G_2=G_2C\) (đpcm).
d) \(\left(A'IO\right)=\left(AA'C'C\right)\). Nên thiết diện cần tìm là (AA'C'C).
d) (A'IO) ≡ (AA'C'C) suy ra thiết diện là AA'C'C
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có P và R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A'D'. Gọi P', Q, Q' lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDD'C', A'B'C'D', ADD'A'
a) Chứng minh rằng P P ' → + Q Q ' → + R R ' → = 0 →
b) Chứng minh hai tam giác PQR và P'Q'R' có trọng tâm trùng nhau.
b) Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác PQR và P'Q'R'.
Theo câu a) ta có: 
Do đó:
G trùng với G'
Vậy hai tam giác PQR và P'Q'R' có cùng trọng tâm.
Cho hình hộp chữ nhật đứng A B C D . A ' B ' C ' D ' có A B = a , A D = a , A A ' = 3 a Gọi O ' là tâm hình chữ nhật A ' B ' C ' D ' Thể tích của khối chóp O ' . A B C D là?
A. 4 a 3
B. 2 a 3
C. a 3
D. 6 a 3
Đáp án B
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD thì O O ' = 3 a
V O ' A B C D = 1 3 O O ' . A B . A D = 2 a 3
Cho hình hộp chữ nhật đứng ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=3a. Gọi O' là tâm hình chữ nhật A'B'C'D'. Thể tích của khối chóp O'.ABCD là?
A. 4 a 3
B. 2 a 3
C. a 3
D. 6 a 3
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có P và R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A'D'. Gọi P', Q,Q',R' lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDD'C', A'B'C'D', ADD'A'
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow{PP'}+\overrightarrow{QQ'}+\overrightarrow{RR'}=\overrightarrow{O}\)
b) Chứng minh hai tam giác PQR và P'Q'R' có trọng tâm trùng nhau
Phần I: Trắc nghiệm
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
- Đặt S A → = a → , S B → = b → , S C → = c → , S D → = d → .Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a → + c → = d → + b →
B. a → + b → = d → + c →
C. a → + d → = b → + c →
D. a → + b → + c → + d → = 0 →
Chọn A.
- Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:
