Tính giới hạn lim x → 1 - x 2 + 1 x - 1
A. 0
B. + ∞
C. - ∞
D. 1
4. Tính giới hạn \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x-1}{2x^2-x}_{ }\)
5. Tính giới hạn:
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x-2}{x^2-4}_{ }\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\dfrac{x+3}{x-3}_{ }\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\left(x+1\right)}{2x^2-x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(\sqrt{x^2+1}-\left(x+1\right)\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x+1\right)}{x\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x+1\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-2x}{x\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x+1\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-2}{\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x+1\right)}\)
\(=\dfrac{-2}{\left(0-1\right)\left(\sqrt{1}+1\right)}=1\)
a. \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x-2}{x^2-4}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{4}\)
b. \(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\dfrac{x+3}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\dfrac{-x-3}{3-x}\)
Do \(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\left(-x-3\right)=-6< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\left(3-x\right)=0\) và \(3-x>0;\forall x< 3\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\dfrac{-x-3}{3-x}=-\infty\)
a) Sử dụng phép đổi biến \(t = \frac{1}{x},\) tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}}.\)
b) Với \(y = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}},\) tính ln y và tìm giới hạn của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y.\)
c) Đặt \(t = {e^x} - 1.\) Tính x theo t và tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x}.\)
a) Ta có \(t = \frac{1}{x},\) nên khi x tiến đến 0 thì t tiến đến dương vô cùng do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e\)
b) \(\ln y = \ln {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{x}\ln \left( {1 + x} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\)
c) \(t = {e^x} - 1 \Leftrightarrow {e^x} = t + 1 \Leftrightarrow x = \ln \left( {t + 1} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{t}{{\ln \left( {t + 1} \right)}} = 1\)
Tính giới hạn
\(lim\dfrac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}\)
tính các giới hạn sau:
a. \(lim\dfrac{\sqrt{x+1}-x+1}{x^2-5x+6}\)
x->3
b. \(lim\left|x^3-3x\right|\)
x->-2
Câu a.
\(^{lim}_{x\rightarrow3}\dfrac{\sqrt{x+1}-x+1}{x^2-5x+6}\)
Nhân liên hợp ta đc:
\(^{lim}_{x\rightarrow3}\dfrac{x+1-\left(x-1\right)^2}{(x^2-5x+6)\cdot\left(\sqrt{x+1}+x-1\right)}\)
\(=^{lim}_{x\rightarrow3}\dfrac{-x^2+3x}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+1}+x-1\right)}\)
\(=^{lim}_{x\rightarrow3}\dfrac{-x}{\left(x-2\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+x-1\right)}\)
\(=\dfrac{-3}{\left(3-2\right)\cdot\left(\sqrt{3+1}+3-1\right)}=-\dfrac{3}{4}\)
Câu b.
\(^{lim}_{x\rightarrow-2}\left|x^3-3x\right|\)
\(=\left|\left(-2\right)^3-3\cdot\left(-2\right)\right|=\left|-2\right|=2\)
Câu này đơn giản chỉ thay số thôi nhé, nó ở dạng đa thức nữa!
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x^3+x+1}{x-1}\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{3x+2}{x+1}\)
c) \(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x-15}{x-2}\)
Lời giải:
a. \(\lim\limits_{x\to 1+}(x^3+x+1)=3>0\)
\(\lim\limits_{x\to 1+}(x-1)=0\) và $x-1>0$ khi $x>1$
\(\Rightarrow \lim\limits_{x\to 1+}\frac{x^3+x+1}{x-1}=+\infty\)
b.
\(\lim\limits_{x\to -1+}(3x+2)=-1<0\)
\(\lim\limits_{x\to -1+}(x+1)=0\) và $x+1>0$ khi $x>-1$
\(\Rightarrow \lim\limits_{x\to -1+}\frac{3x+2}{x+1}=-\infty\)
c.
\(\lim\limits_{x\to 2-}(x-15)=-17<0\)
\(\lim\limits_{x\to 2-}(x-2)=0\) và $x-2<0$ khi $x<2$
\(\Rightarrow \lim\limits_{x\to 2-}\frac{x-15}{x-2}=+\infty\)
Tính giới hạn:
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-Cosx.Cos2x}{x^2}\)
Ko sử dụng L'Hopital:
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-cosx+cosx\left(1-cos2x\right)}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2sin^2\dfrac{x}{2}+2cosx.sin^2x}{x^2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{sin\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}\right)^2+\lim\limits_{x\rightarrow0}2cosx\left(\dfrac{sinx}{x}\right)^2=\dfrac{1}{2}.1^2+2.1.1^2=\dfrac{5}{2}\)
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} - x} \right)\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\).
a) Đặt \(f\left( x \right) = 2{x^2} - x\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \to 3\) khi \(n \to + \infty \). Ta có:
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2x_n^2 - {x_n}} \right) = 2.\lim x_n^2 - \lim {x_n} = {2.3^2} - 3 = 15\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} - x} \right) = 15\).
b) Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \to - 1\) khi \(n \to + \infty \). Ta có:
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{x_n^2 + 2{x_n} + 1}}{{{x_n} + 1}} = \lim \frac{{{{\left( {{x_n} + 1} \right)}^2}}}{{{x_n} + 1}} = \lim \left( {{x_n} + 1} \right) = \lim {x_n} + 1 = - 1 + 1 = 0\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}} = 0\).
Tính các giới hạn
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}.x^{-\dfrac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}.x^{-\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{2-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}=3\)
Tính giới hạn của lim tiến tới âm vô cùng (-x^3+x^2-x+1)
Tính các giới hạn sau:
a) $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( x+2 \right);$
b) $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-x+1 \right).$