- Vì khi đem nhân số dương x với 2, sau đó tích số này sau đó chia cho 3 và số dương đó là căn bậc hai của kết quả hai phép tính trên bằng x nên:

- Ta có: \(x=\sqrt{\frac{2x}{3}}\)( * )

       \(\Rightarrow x^2=\frac{2x}{3}\)

      \(\Leftrightarrow3x^2=2x\)

      \(\Leftrightarrow3x^2-2x=0\)

      \(\Leftrightarrow x.\left(3x-2\right)=0\)

      \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\3x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\3x=2\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=\frac{2}{3}\end{cases}}\)

- Thử lại:

 + Với \(x=2\)thay vào phương trình ( * ), ta có: 

           \(\sqrt{\frac{2.2}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\ne2\)

    Vậy \(x=2\)loại

 + Với \(x=\frac{2}{3}\)thay vào phương trình ( * ), ta có: 

            \(\sqrt{\frac{2.\frac{2}{3}}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\)

    Vậy \(x=\frac{2}{3}\)thỏa mãn

Vậy \(S=\left\{\frac{2}{3}\right\}\)

Ta có \(\left(\frac{x}{y}\right)^2=\frac{16}{9}=\left(\pm\frac{4}{3}\right)^2\)

\(\frac{x}{y}\)dương nên \(\frac{x}{y}=\frac{4}{3}\Rightarrow x=\frac{4y}{3}\)

Thay \(x=\frac{4y}{3}\)vào \(x^2+y^2=100\)ta được

\(\left(\frac{4y}{3}\right)^2+y^2=100\)

\(\frac{16}{9}.y^2+y^2=100\)

\(y^2.\left(\frac{16}{9}+1\right)=100\)

\(y^2.\frac{25}{9}=100\)

\(y^2=100:\frac{25}{9}=36\)

\(y=6\)( vì y dương  )

Ta có :

\(\left(\frac{x}{y}\right)^2=\frac{16}{9}\)\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}=\frac{16}{9}\Rightarrow\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{9}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\(\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{9}=\frac{x^2}{4^2}=\frac{y^2}{3^2}=\frac{x^2+y^2}{16+9}=\frac{100}{25}=4=\left(\pm2\right)^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(±2\right)^2.4^2\\y^2=\left(\pm2\right)^2.3^2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(\pm2.4\right)^2\\y^2=\left(\pm2.3\right)^2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(\pm8\right)^2\\y^2=\left(\pm6\right)^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm8\\y=\pm6\end{cases}}\)

Mà x và y cùng dấu => ( x , y ) ∈ { ( -8 ; -6 ) ; ( 8 ; 6 ) }

Ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\sqrt{16}=8\)

Dấu bằng xảy ra khi: x=y=4

Vậy min của x+y là 8 tại x=y=4

\(\frac{x}{9}-\frac{3}{y}=\frac{1}{18}\)

\(\frac{x}{9}-\frac{1}{18}=\frac{3}{y}\)

\(\frac{2x}{18}-\frac{1}{18}=\frac{3}{y}\)

\(\frac{2x-1}{18}=\frac{3}{y}\)

\(\left(2x-1\right)y=18.3=54\)

=> 2x - 1 ; y \(\in\)Ư(54) ={...}

Làm nốt e nhé, chăm chỉ lên ! 

có x+y=2021=>y=2021-x

=>x.y=x(2021-x)=2021x-\(x^2\)

=>P=2021x-\(x^2\)

=> -P=\(x^2-2021x\)\(=x^2-2.\dfrac{2021}{2}.x+\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2\)=\(\left(x-\dfrac{2021}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2\)

lại có x,y nguyên dương=>x,y\(\ge\)1

có x+y=2021=>x,y\(\le\)2020

=>\(x\le2020\)

=>\(x-\dfrac{2021}{2}\le2020-\dfrac{2021}{2}\)

<=>\(\left(x-\dfrac{2021}{2}\right)^2\le\left(\dfrac{2019}{2}\right)^2\)

=>\(\left(x-\dfrac{2021}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2\le\)\(\left(\dfrac{2019}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2=-2020\)

<=>\(-P\le-2020< =>P\ge2020\)

dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2020\\x=1\end{matrix}\right.\)

vậy MIN P=2020 khi x=2020 hoặc x=1

bổ sung đoạn cuối dấu với x=2020 thì y=1

với x=1 thì y =2020

\(\left(\dfrac{x}{y}\right)^2:x^2+y^2=100\)

\(\dfrac{x^2}{y^2}:x^2+y^2=100\)

\(\dfrac{x^2}{x^2.y^2}+y^2=100\)

\(y^2+y^2=100\)

\(2y^2=100\)

\(y^2=50\)

⇒ \(\left[{}\begin{matrix}y=\sqrt{50}\\y=-\sqrt{50}\end{matrix}\right.\)

Còn lại bạn thay từng tường hợp vào tìm x là được