Đáp án C

a) Do các tứ giác ABCD và ABEF là các hình bình hành

=> O là trung điểm của AC và BD

và O’ là trung điểm của AE và BF. (tính chất hình bình hành).

+ ΔBFD có OO’ là đường trung bình nên OO’ // DF

mà DF ⊂ (ADF)

⇒ OO' // (ADF)

+ ΔAEC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // EC

mà EC ⊂ (BCE)

⇒ OO’ // (BCE).

b)

Ta thấy mp(CEF) chính là mp(CEFD).

Gọi I là trung điểm của AB:

+ M là trọng tâm ΔABD

⇒ IM/ ID = 1/3.

+ N là trọng tâm ΔABE

⇒ IN/IE = 1/3.

+ ΔIDE có IM/ID = IN/IE = 1/3

⇒ MN // DE mà ED ⊂ (CEFD)

nên MN // (CEFD) hay MN // (CEF).

a) OO' là đường trung bình của tam giác DBF nên OO' // DF.
DF nằm trong mặt phẳng (ADF) nên OO' // mp(ADF).
Tương tự OO' // CE mà CE nằm trong mặt phẳng (BCE) nên OO' // mp(BCE).

b) Gọi J là trung điểm đoạn thẳng AB, theo định lí Ta-lét \(\Rightarrow\) MN // DE => đpcm.

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC, BF

Suy ra, IJ là đường trung bình của tam giác BCF.

Do đó, IJ // CF (1)

Tam giác AIJ có:  \(\frac{{AM}}{{AI}} =\frac{{AN}}{{AJ}}= \frac{2}{3}\)

Suy ra, MN // IJ (theo Ta lét) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  MN // CF, mà CF nằm trong (ACF).

Suy ra MN // (ACF)

a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành) 

Mà AD thuộc (AFD), BC thuộc (BEC) 

Nên (AFD) // (BEC) 

b) Trong (ABEF) kẻ đường thẳng d qua M // AF

Ta có: d cắt AB tại I, d cắt EF tại J (1)

Trong (ABCD) có I thuộc (P) mà (P) // (AFD) 

Suy ra từ I kẻ IH // AD (2) 

(1)(2) suy ra (IJH) trùng (P) và // (AFD) 

Ta có: (P) cắt AC tại N mà AC thuộc (ABCD), IH thuộc (P) và (ABCD) 

Suy ra: IH cắt AC tại N

Ta có các hình bình hành IBCH, IBEJ

Gọi O là trung điểm của AB

Có M là trọng tâm △ABE

Suy ra: \(\dfrac{MO}{ME}=\dfrac{1}{2}\).

Ta có: AB // CD suy ra: AI // CH

Định lí Ta-lét: \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AI}{CH}\)

mà CH = IB (IBCH là hình bình hành)

Suy ra: \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AI}{IB}\)

Ta có: AB // EF nên OI // EJ

Do đó: \(\dfrac{OI}{EJ}=\dfrac{MO}{ME}=\dfrac{1}{2}\)

Mà EJ = IB (IBEJ là hình bình hành)

Suy ra: \(\dfrac{OI}{IB}=\dfrac{1}{2}\) hay IB = 2OI

Ta có: \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AI}{IB}=\dfrac{AO+OI}{2OI}\)

Mà OA = OB (O là trung điểm AB)

Nên \(\dfrac{AN}{NC}=2\).

MN // DE nên DM, NE cắt nhau tại điểm I và

Lại có

Mặt khác:

Đáp án A.

Tham khảo hình vẽ:

a) \(O\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\) (theo tính chất hình bình hành)

\(O'\) là trung điểm của \(BF\) (theo tính chất hình bình hành)

\( \Rightarrow OO'\) là đường trung bình của tam giác \(B{\rm{D}}F\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OO'\parallel DF\\DF \subset \left( {C{\rm{DFE}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OO'\parallel \left( {C{\rm{DFE}}} \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}OO'\parallel DF\\DF \subset \left( {A{\rm{DF}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OO'\parallel \left( {A{\rm{DF}}} \right)\)

\(O\) là trung điểm của \(AC\) (theo tính chất hình bình hành)

\(O'\) là trung điểm của \(A{\rm{E}}\) (theo tính chất hình bình hành)

\( \Rightarrow OO'\) là đường trung bình của tam giác \(AC{\rm{E}}\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OO'\parallel CE\\CE \subset \left( {BCE} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OO'\parallel \left( {BC{\rm{E}}} \right)\)

b) \(M\) là trung điểm của \(AF\) (theo tính chất hình bình hành)

\(N\) là trung điểm của \(BE\) (theo tính chất hình bình hành)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABEF\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel EF\parallel AB\\EF \subset \left( {C{\rm{D}}F{\rm{E}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {C{\rm{D}}F{\rm{E}}} \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}O \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel AB\\MN \subset \left( {OMN} \right)\\AB \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\}\)

\( \Rightarrow \)Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(O\), song song với \(MN\) và \(AB\).