Lời giải:

a) Khi $m=1$ thì pt trở thành:

$x^2-2x-5=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2=6$

$\Rightarrow x=1\pm \sqrt{6}$ 

b) Để $x_1=3$ là nghiệm của pt thì:

$3^2-2.m.3+2m-7=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

Nghiệm còn lại $x_2=(x_1+x_2)-x_1=2m-x_1=2.\frac{1}{2}-3=-2$

c) 

$\Delta'= m^2-(2m-7)=(m-1)^2+6>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Theo định lý Viet: $x_1+x_2=2m$ và $x_1x_2=2m-7$

Khi đó: 

Để $x_1^2+x_2^2=13$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=13$

$\Leftrightarrow (2m)^2-2(2m-7)=13$

$\Leftrightarrow 4m^2-4m+1=0\Leftrightarrow (2m-1)^2=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

d) 

$x_1^2+x_2^2+x_1x_2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2$

$=(2m)^2-(2m-7)=4m^2-2m+7=(2m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{4}\geq \frac{27}{4}$
Vậy $x_1^2+x_2^2+x_1x_2$ đạt min bằng $\frac{27}{4}$. Giá trị này đạt tại $m=\frac{1}{4}$

a:Δ=(2m-2)^2-4(-m-3)

=4m^2-8m+4+4m+12

=4m^2-4m+16

=(2m-1)^2+15>=15>0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì -m-3<0

=>m+3>0

=>m>-3

c: Để phương trình có hai nghiệm âm thì:

2m-2<0 và -m-3>0

=>m<1 và m<-3

=>m<-3

d: x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2

=(2m-2)^2-2(-m-3)

=4m^2-8m+4+2m+6

=4m^2-6m+10

=4(m^2-3/2m+5/2)

=4(m^2-2*m*3/4+9/16+31/16)

=4(m-3/4)^2+31/4>0 với mọi m

1) Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m-5\right)\)

\(=\left(2m-2\right)^2-4\left(m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m+20\)

\(=4m^2-12m+24\)

\(=4m^2-12m+9+15\)

\(=\left(2m-3\right)^2+15>0\forall m\)

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1\cdot x_2=m-5\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1-x_2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=2m+1\\x_1-x_2=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m+1}{2}\\x_2=x_1-3=\dfrac{2m+1}{2}-\dfrac{6}{2}=\dfrac{2m-5}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1\cdot x_5=m-5\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)\left(2m-5\right)=4\left(m-5\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^2-10m+2m-5=4m-20\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m-5-4m+20=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-12m+15=0\)(vô lý)

Vậy: Không có giá trị nào của m để phương tình có hai nghiệm mà hiệu của chúng bằng 3

+\(\Delta=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4.1.\left(2m-3\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m+12=m^2-6m+13=\left(m-3\right)^2+4>0\)

\(\Delta>0\Rightarrow\text{phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt}\)

+x=3

PT(1) trở thành : \(3^2-\left(m+1\right).3+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow-3m-3+2m+6=0\)

\(\Leftrightarrow-m+3=0\Leftrightarrow m=3\text{ Vậy với x=3 thì m=3}\)

Xin lựa a;b ... c;d e rỗng tuếch :>> (ko bt đúng ko nữa).

a, Thay m = 5 vào biểu thức ta đc 

 \(x^2-2\left(5+6\right)x+5-4=0\)

\(x^2-33x+1=0\)

\(\Delta=\left(-33\right)^2-4.1.1=1089-4=1085>0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

\(x_1=\frac{33-\sqrt{1085}}{2};x_2=\frac{33+\sqrt{1085}}{2}\)

b, Ta có :

\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\left(m-4\right)=4m^2-4-4m+16=4m^2-4m+12\)

\(=\left(4m^2-4m+1\right)+11\ge11\forall m\)

Vậy phuwong trình có 2 nghiệm phân biệt vs mọi x 

b) Δ = m - 2 2  -4.(-m + 1) =  m 2  - 4m + 4 + 4m - 4 = m 2  ≥ 0 ∀ m

⇒ Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

`a)` Thay `m=\sqrt{3}+1` vào hệ ptr có:

`{(\sqrt{3}x-2y=1),(3x+(\sqrt{3}+1)y=1):}`

`<=>{(3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}),(3x+(\sqrt{3}+1)y=1):}`

`<=>{((3\sqrt{3}+1)y=1-\sqrt{3}),(\sqrt{3}x-2y=1):}`

`<=>{(y=[-5+2\sqrt{3}]/13),(\sqrt{3}x-2[-5+2\sqrt{3}]/13=1):}`

`<=>{(x=[4+\sqrt{3}]/13),(y=[-5+2\sqrt{3}]/13):}`

`b){((m-1)x-2y=1),(3x+my=1):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),((m-1)[1-my]/3-2y=1):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),(m-m^2y-1+my-6y=3):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),((-m^2+m-6)y=4-m):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

   Mà `-m^2+m-6` luôn `ne 0`

   `=>AA m` thì đều tìm được `1` giá trị `y` từ đó tìm được `x`

 `=>AA m` thì hệ ptr có `1` nghiệm duy nhất

`c){((m-1)x-2y=1),(3x+my=1):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

`<=>{(x=(1-m[4-m]/[-m^2+m-6]):3),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

`<=>{(x=[-m^2+m-6-4m+m^2]/[-3m^2+3m-18]),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

`<=>{(x=[-3m-6]/[3(-m^2+m-6)]),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

Ta có: `x-y=[-3m-6]/[3(-m^2+m-6)]-[4-m]/[-m^2+m-6]`

                `=[-3m-6-12+3m]/[-3(m^2-m+6)]`

                `=[-18]/[-3(m^2-m+6)]=6/[(m-1/2)^2+23/4]`

Vì `(m-1/2)^2+23/4 >= 23/4`

`<=>6/[(m-1/2)^2+23/4] <= 24/23`

Hay `x-y <= 24/23`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>m-1/2=0<=>m=1/2`

Lời giải:

Ta có:
$\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m-1)=5>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có nghiệm với mọi $m\in\mathbb{R}$

+Ta có: \(\Delta=\left(m+1\right)^2-4.\left(2m-3\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m+12\)

\(=m^2-6m+12\)

\(=\left(m-3\right)^2+3>0\)

=>dpcm

+Thay x=3 vào phương trình x² – (m + 1)x + 2m - 3 = 0 

ta được: 3²-(m+1).3+2m-3=0

<=>9-3m-3+2m-3=0

<=>-m+3=0

<=>m=3

Vậy m=3 thì phương trình x² – (m + 1)x + 2m - 3 = 0  có 1 nghiệm bằng 3

\(x^2-\left(m+1\right)x+2m-3=0\)

+ Xét \(\Delta=\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)=m^2-6m+13=\left(m^2-6m+9\right)+4=\left(m-3\right)^2+4>0\)với mọi m thuộc tập số thực.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

+ Phương trình có nghiệm \(x=3\) , thay vào phương trình , ta được : 

\(3^2-\left(m+1\right).3+2m-3=0\Rightarrow m=3\)

Vậy m = 3