Question

Cho phương trình: x² - 2(m-1)x + m - 5 = 0
1) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm mà hiệu của chúng bằng 3

Answer 1

1) Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m-5\right)\)

\(=\left(2m-2\right)^2-4\left(m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m+20\)

\(=4m^2-12m+24\)

\(=4m^2-12m+9+15\)

\(=\left(2m-3\right)^2+15>0\forall m\)

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Answer 2

2) Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1\cdot x_2=m-5\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1-x_2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=2m+1\\x_1-x_2=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m+1}{2}\\x_2=x_1-3=\dfrac{2m+1}{2}-\dfrac{6}{2}=\dfrac{2m-5}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1\cdot x_5=m-5\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)\left(2m-5\right)=4\left(m-5\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^2-10m+2m-5=4m-20\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m-5-4m+20=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-12m+15=0\)(vô lý)

Vậy: Không có giá trị nào của m để phương tình có hai nghiệm mà hiệu của chúng bằng 3