Muốn làm một bồn chứa 1000 lít hình trụ có nắp đậy. Hỏi chiều cao h ( dm) của bồn là để ít tốn vật liệu nhất. Gần với giá trị nào nhất
A. 10, 5
B. 10,6
C. 10, 7
D. 10, 8
Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 m 3 nước. Tìm bán kính R của đáy bồn nước, biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất (bỏ qua độ dày của bồn)
A. R = 5 2 π 3 m
B. R = 5 π 3 m
C. R = 10 π 3 m
D. R = 5 π 3 m
Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?
A. r = 5 π 3 m
B. r = 5 π 3 m
C. r = 5 2 π 3 m
D. r = 10 π 3 m
Đáp án B.
Gọi h(m) là chiều cao của chiếc bồn nước, h > 0 .
Thể tích của chiếc bồn là V = π r 2 h = 10 ⇒ h = 10 π r 2 .
Diện tích toàn phần của chiếc bồn là:
S t p = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r 2 + 2 π r . 10 π r 2 = 2 π r 2 + 20 r = 2 π r 2 + 10 r + 10 r
Cách 1: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: S t p ≥ 3 2 π r 2 . 10 r . 10 r 3 = 3. 200 π 3 .
Dấu “=” xảy ra khi
2 π r 2 = 10 r ⇔ r 3 = 5 π ⇔ r = 5 π 3
Vậy với r = 5 π 3 thì lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất.
Cách 2: Xét hàm số f r = 2 π r 2 + 20 r , r > 0 .
Ta có
f ' r = 4 π r − 20 r 2 = 4 π r 3 − 20 r 2 ; f ' r = 0 ⇔ 4 π r 3 − 20 = 0 ⇔ r 3 = 5 π ⇔ r = 5 π 3
Bảng biến thiên:
⇒ f r đạt giá trị nhỏ nhất tại r = 5 π 3 .
Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?
A. r = 5 π 3 m
B. r = 5 π 3 m
C. r = 5 2 π 3 m
D. r = 10 π 3 m
Người ta xây một bồn chứa nước hình trụ trên một nền đất hình vuông có diện tích 16m2, để lượng nước chứa tối đa là 30.000 lít thì phải xây bồn cầu có chiều cao bằng giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
A. 2,2m
B. 2,3m
C. 2,4m
D. 2,5m
Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu có đường kính 1,8m và một hình trụ có chiều cao bằng 3,6m. Thể tích của bồn chứa gần nhất với kết quả nào sau đây?
Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu có đường kính 1,8m và một hình trụ có chiều cao bằng 3,6m (như hình vẽ minh họa). Thể tích của bồn chứa gần nhất với kết quả nào sau đây?
nước hình trụ có chiều cao 2 m một vòi nước chảy vào bồn với vận tốc 6750 lít/h. Sau 10 phút chảy, mực nước trong bồn cao 0,5m. Tính thể tích của bồn nước
10 phút \(=\dfrac{1}{6}h\)
Sau 10 phút,lượng nước trong bồn là \(6750.\dfrac{1}{6}=1125\left(l\right)=1,125\left(m^3\right)\)
Thể tích của bồn nước là \(\dfrac{1,125}{0,5}.2=4,5\left(m^3\right)=4500\left(l\right)\)
Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 m 3 nước. Tìm bán kính R của đáy bồn nước, biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất (bỏ qua độ dày của bồn)
A. R = 5 2 π 3 m
B. R = 5 π 3 m
C. R = 10 π 3 m
D. R = 5 π 3 m
Đáp án B
Yêu cầu bài toán “Tìm R để diện tích toàn phần của hình truh là nhỏ nhất”
Gọi h là chiều cao của hình trụ Thể tích khối trụ là V = π R 2 h = 10 ⇒ h = 10 π R 2 1
Diện tích toàn phần của hình trụ là: S T P = S x q + 2 × S d = 2 π R h + 2 π R 2 2
Từ (1); (2) suy ra S T P = 2 π R 2 + 20 R = 2 π R 2 + 10 R + 10 R ≥ 3 200 π 3
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2 π R 2 = 10 R ⇔ R = 5 π 3 m
Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước ( hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao h và bán kính R của hình trụ theo V để tốn ít vật liệu nhất.