Cho hai vectơ a→ và b→đều khác 0→. Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương ? Là số âm ? Bằng 0 ?
Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) khi nào dương, khi nào âm và khi nào bằng 0 ?
Có \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\).
Vì vậy:
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}< 0\) khi \(cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)< 0\) hay \(90^o< \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\le180^o\).
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0\) khi \(cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0\) hay \(0^o\le\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)< 90^o\).
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\) khi \(cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0\) hay \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90^o\).
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) là một số dương? Là một số âm?
Tham khảo:
Dễ thấy: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| > 0\)). Do đó:
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) > 0\) hay \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\)
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\;\; < 0\) hay \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}\)
Vậy \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\) nếu \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\) và \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) nếu \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}.\)
Cho a → và b → là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 → . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a → . b → = a → . b →
B. a → . b → = 0
C. a → . b → = − 1
D. a → . b → = − a → . b →
Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a, Hai vecto cùng hướng thì cùng phương.
b, Hai vecto b→ và kb→ cùng phương.
c, Hai vecto a→ và (-2)a→ cùng hướng.
d) Hai vector ngược hướng với vector thứ ba khác vectơ 0→ thì cùng phương.
TL: A, B, D: Đúng; C: Sai
Cho hai vectơ a → , b → khác vectơ 0 → , không cùng phương và có độ dài bằng nhau. Khi đó giá của hai vectơ a → + b → và a → - b → thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. Cắt và không vuông góc
B. Vuông góc với nhau
C. Song song với nhau
D. Trùng nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u → = (3; 4; 0), v → = (2; -1; 2) . Tích vô hướng của hai vectơ u → và v → là:
A. 15
B. 2
C. 3
D. 0
Cho a → và b → là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 → . Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng:
A.
B.
C.
D.
Chọn A.
Do và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ suy ra
Do đó
Cho vectơ a, b là hai vectơ khác vectơ 0. Khi nào có đẳng thức
Có hai vec tơ a→, b→ bất kì như hình vẽ.
Vẽ hình bình hành ABCD sao cho
Ta có:
Do đó
a) ⇔ AC = AB + BC ⇔ B nằm giữa A và C
⇔ cùng hướng hay a→ và b→ cùng hướng.
b) ⇔ AC = BD
⇔ ABCD là hình chữ nhật
⇔ AB ⊥ CD hay
Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 có tích vô hướng là \( - 6\). Tính góc giữa hai vectơ đó.
Ta cho: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3;\left| {\overrightarrow b } \right| = 4\) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 6\)
Ta có công thức:
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3.4.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 6 \Rightarrow 3.4.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 6 \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \)