Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\left(m-1\right)x+2m+3=2x+1\)

=>\(\left(m-1\right)x-2x=1-2m-3\)

=>\(x\left(m-3\right)=-2m-2\)

=>\(x=\dfrac{-2m-2}{m-3}\)

\(y=2x+1=\dfrac{2\cdot\left(-2m-2\right)}{m-3}+1=\dfrac{-4m-4+m-3}{m-3}=\dfrac{-3m-7}{m-3}\)

Để (d) cắt đường thẳng y=2x+1 tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne2\\\dfrac{-2m-2}{m-3}< 0\\\dfrac{-3m-7}{m-3}>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\left(5\right)\\\dfrac{m+1}{m-3}>0\left(1\right)\\\dfrac{3m+7}{m-3}< 0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1); \(\dfrac{m+1}{m-3}>0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\m-3>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m>3\end{matrix}\right.\)

=>m>3

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1< 0\\m-3< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m< 3\end{matrix}\right.\)

=>m<-1

Vậy: \(m\in\left(3;+\infty\right)\cup\left(-\infty;-1\right)\)(3)

(2): \(\dfrac{3m+7}{m-3}< 0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}3m+7>0\\m-3< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{7}{3}\\m< 3\end{matrix}\right.\)

=>\(\dfrac{-7}{3}< m< 3\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}3m+7< 0\\m-3>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>3\\m< -\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

=>Loại

Vậy: \(-\dfrac{7}{3}< m< 3\)(4)

Từ (3),(4),(5) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\-\dfrac{7}{3}< m< 3\\m\in\left(3;+\infty\right)\cup\left(-\infty;-1\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m\in\left(-\dfrac{7}{3};-1\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\left(-\dfrac{7}{3};-1\right)\)

1:Thay x=1 và y=3 vào (d2), ta được:

\(m-2m+3=3\)

hay m=0

a.

Pt hoành độ giao điểm (d) và (d'):

\(x+1=2x-2m-1\Leftrightarrow x=2m+2\)

\(\Rightarrow y=x+1=2m+3\)

2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm nằm trong góc phần tư thứ II khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m+2< 0\\2m+3>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m>-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{3}{2}< m< -1\)

2 trục tung - hoành của hệ trục tọa độ cắt nhau chia mặt phẳng tọa độ làm 4 phần đánh dấu theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ, góc phần tư thứ I là phần tương ứng từ 12 giờ đến 3 giờ (ứng với x;y đều dương), góc phần tư thứ II từ 9 giờ đến 12h ( x âm y dương), góc III từ 6h đến 9h (x;y đều âm), góc IV từ 3h đến 6h (x dương  y âm)

b.

\(\Delta'=m^2-6m+9=\left(m-3\right)^2\ge0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-6\\x_1x_2=6m-m^2\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm nên \(x_1^2+6x_1+6m-m^2=0\Leftrightarrow2x_1^2+12x_1=2m^2-12m\)

Từ đó:

\(x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right)+2m^2-12m+72=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(36+m^2-6m\right)+2\left(m^2-6m+36\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2+2\right)\left(m^2-6m+36\right)=0\)

Do \(m^2-6m+36=\left(m-3\right)^2+27>0;\forall m\)

\(\Rightarrow x_1-x_2+2=0\)

Kết hợp \(x_1+x_2=-6\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=-2\\x_1+x_2=-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-4\\x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=6m-m^2\)

\(\Rightarrow6m-m^2=8\Rightarrow m^2-6m+8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=4\end{matrix}\right.\)

a: Phương trình hoành độ giao điểm là: \(x^2-mx+m-1=0\)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot\left(m-1\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì m-2<>0

hay m<>2

b: \(\left|x_A-x_B\right|< 3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}< 3\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2< 9\)

\(\Leftrightarrow m^2-4\left(m-1\right)< 9\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2-3< 0\)

=>(m+1)(m-5)<0

=>-1<m<5