Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:

O I O ' ^ = O I A ^ + O ' I A ^ = 1 2 A I B ^ + 1 2 A I C ^ = 1 2 A I B ^ + A I C ^

Vậy O I O ' ^ = 90 o

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:

c) ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36

=> IA = 6 (cm)

Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)

a: Xét (O) có

ID,IA là các tiếp tuyến

Do đó: IO là phân giác của góc DIA

=>\(\widehat{DIA}=2\cdot\widehat{OIA}\)

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IO' là phân giác của góc AIE

=>\(\widehat{AIE}=2\cdot\widehat{AIO'}\)

Ta có: \(\widehat{DIA}+\widehat{EIA}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\left(\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{OIO'}=180^0\)

=>\(\widehat{OIO'}=90^0\)

b: Xét (O) có

ID,IA là các tiếp tuyến

Do đó: ID=IA

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IE

Ta có: IA=IE

ID=IA

Do đó: ID=IE

=>I là trung điểm của DE

=>I là tâm đường tròn đường kính DE

Xét ΔDAE có

AI là bán kính

\(AI=\dfrac{DE}{2}\)

Do đó: ΔADE vuông tại A

=>A nằm trên (I)

Xét (I) có

IA là bán kính

O'O\(\perp\)IA tại A

Do đó: OO' là tiếp tuyến của (I)

=>O'O là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE

a, Vì AI là tiếp tuyến chung trong

        BC là tiếp tuyến chung ngoài

=> IA = IB = IC

=> tam giác BAC vuông ở A

=> ^BAC = 90^o

b, Vì IA , IB là tiếp tuyến (O)

=> IO là phân giác ^BIA

=> \(\widehat{OIA}=\frac{\widehat{BIA}}{2}\)

Tương tự \(\widehat{O'IA}=\frac{\widehat{CIA}}{2}\)

Mà \(\widehat{BIA}+\widehat{CIA}=180^o\)

\(\Rightarrow\frac{\widehat{BIA}+\widehat{CIA}}{2}=90^o\)

=> ^OIA  + ^O'IA = 90^o

=> ^OIO' = 90^o

c, Xét tam giác OIO' vuông tại I có IA là đường cao

\(IA^2=OA.O'A\)(Hệ thức lượng)

\(\Leftrightarrow IA^2=9.4\)

\(\Leftrightarrow IA=6\)(Do IA > 0)

MÀ BC = 2IA

=> BC = 12

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC .

Tam giác ABC có đường trung tuyến \(AI=\frac{1}{2}BC\)nên là tam giác vuông

Vậy \(\widehat{BAC}=90^o\left(đpcm\right)\)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên :

\(\widehat{OIO'}=\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}+\frac{1}{2}\widehat{AIC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}\right)\)

Vậy : \(\widehat{OIO'}=90^o\)

c) \(\Delta OIO'\) vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA² = AO.AO' = 9 . 4 = 36

=> IA = 6 ( cm )

Vậy BC = 2 . IA = 2 . 6 = 12 (cm)

) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:

c) ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36

=> IA = 6 (cm)

Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)

Bài làm

a) Ta thấy: BC là tiếp tuyến chung ngoài và tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O') và (O) cắt nhau tại I

=> CI = IA = IB (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét tam giác ABC có: IA = 1/2BC 

=> Tam giác ABC vuông tại A

Do đó: góc BAC = 90^o (đpcm)

b) Ta thấy: O'I là tia phân giác của CO'O (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> \(\widehat{IO'O}=\frac{1}{2}\widehat{CO'O}\Rightarrow2\widehat{IO'O}=\widehat{CO'O}\)

Ta lại thấy: OI là tia phân giác của BOO' (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> \(\widehat{IOO'}=\frac{1}{2}\widehat{BOO'}\Rightarrow2\widehat{IOO'}=\widehat{BOO'}\)

Xét tứ giác O'CBO có: 

\(\widehat{O'CB}+\widehat{CBO}+\widehat{B\text{OO}'}+\widehat{\text{OO}'C}=360^0\)(tổng 4 góc của tứ giác)

Hay \(90^0+90^0+2\widehat{IO'O}+2\widehat{IOO'}=360^0\)

=> \(2\left(\widehat{IO'O}+\widehat{IOO'}\right)=360^0-90^0-90^0=180^0\)

=> \(\widehat{IO'O}+\widehat{IOO'}=\frac{180^0}{2}=90^0\)\

Xét tam giác O'IO có:

\(\widehat{IO'O}+\widehat{IOO'}+\widehat{O'IO}=180^0\)(Tổng ba góc trong tam giác)

Hay \(90^0+\widehat{\text{OIO}'}=180^0\)

=> \(\widehat{\text{OIO}'}=180^0-90^0=90^0\)

Vậy góc OIO' = 90^o 

c) Xét tam giác O'IO vuông tại I có:

Đường cao IA

Theo hệ thức lượng trong tam giác:

Ta có: IA² = OA * O'A

hay IA² = 4 * 9

=> IA = 6 (cm)

Mà IA = IC = IB = 6 (cm)

=> IC + IB = BC

hay BC = 6 + 6 = 12 (cm)

Vậy BC = 12cm