a : x² + 4x + 7 = (x + 2)² + 3 > 0

b : 4x² - 4x + 5 = (2x - 1)² + 4 > 0

c : x² + 2y² + 2xy - 2y + 3 = (x + y)² + (y - 1)² + 2 > 0

d : 2x² - 4x + 10 = 2(x - 1)² + 8 > 0

e : x² + x + 1 = (x + 0,5)² + 0,75 > 0

f : 2x² - 6x + 5 = 2(x - 1,5)² + 0,5 > 0

a : x² + 4x + 7 = (x + 2)² + 3 > 0

b : 4x² - 4x + 5 = (2x - 1)² + 4 > 0

c : x² + 2y² + 2xy - 2y + 3 = (x + y)² + (y - 1)² + 2 > 0

d : 2x² - 4x + 10 = 2(x - 1)² + 8 > 0

e : x² + x + 1 = (x + 0,5)² + 0,75 > 0

f : 2x² - 6x + 5 = 2(x - 1,5)² + 0,5 > 0

\(a,P=5x\left(2-x\right)-\left(x+1\right)\left(x+9\right)\)

\(=10x-5x^2-\left(x^2+x+9x+9\right)\)

\(=10x-5x^2-x^2-x-9x-9\)

\(=\left(10x-x-9x\right)+\left(-5x^2-x^2\right)-9\)

\(=-6x^2-9\)

Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-6x^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-6x^2-9\le-9< 0\forall x\)

hay \(P\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \(x\).

\(b,Q=3x^2+x\left(x-4y\right)-2x\left(6-2y\right)+12x+1\)

\(=3x^2+x^2-4xy-12x+4xy+12x+1\)

\(=\left(3x^2+x^2\right)+\left(-4xy+4xy\right)+\left(-12x+12x\right)+1\)

\(=4x^2+1\)

Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow4x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow4x^2+1\ge1>0\forall x\)

hay \(Q\) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến \(x\) và \(y\).

#\(Toru\)

a: \(x^2-5x+10\)

\(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{15}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\forall x\)

b: \(2x^2+8x+15\)

\(=2\left(x^2+4x+\dfrac{15}{2}\right)\)

\(=2\left(x^2+4x+4+\dfrac{7}{2}\right)\)

\(=2\left(x+2\right)^2+7>0\forall x\)

Ta có : Q = x² - 2xy -12x +y² +12y + 36 + 5y² -10y + 5 + 1976

               = [ x² -2x(y + 6 ) + ( y + 6 )² ] + 5 (y² -2y +1 ) +1976

                = ( x- y - 6 )² + 5 (y-1)² + 1976

Vì ( x - y - 6)² \(\ge\)0 với mọi x ; y ;5 .(y-1)² \(\ge\)0 với mọi x ; y và 1976 > 0 

Nên biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi x ;y

Q=x2+6y2−2xy−12x+2y+2017

Q=(x2-2xy+y2)-(12x-12y)+36+(5y2-10y+5)+1976

=(x-y)2-12(x-y)+36+5(y2-2y+1)+1976

=[(x-y)2-12(x-y)+36]+5(y-1)2+1976

=(x-y-6)2+5(y-1)2+1976

do (x-y-6)2 ≥ 0 ∀ x,y

(y-1)2 ≥ 0 ∀ y

=> (x-y-6)2+5(y-1)2+1976 ≥ 1976

=> Q≥ 1976

=> MinA=1976 khi

y-1=0

=>y=1

x-y-6=0

=>x-1-6=0

=>x-7=0

=>x=7

Vậy GTNN của Q =1976 khi x=7 và y=1

\(Q=x^2+2y^2+2z^2+2xy-2yz-2xz-2y+4z+5=\left[\left(x^2+2xy+y^2\right)-2z\left(x+y\right)+z^2\right]+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2+4z+4\right)=\left(x+y-z\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2\ge0\)

\(minQ=0\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=1\\z=-2\end{matrix}\right.\)

`Q=x^2+2y^2+2z^2+2xy-2yz-2xz-2y+4z+5`

`Q=(x^2+y^2-z^2+2xy-2yz-2xz)+(y^2-2y+1)+(z^2+4z+4)`

`Q=(x+y-z)^2+(y-1)^2+(z+2)^2`

Ta thấy :

`(x+y-z)^2>=0`

`(y-1)^2>=0`

`(z+2)^2>=0`

`=>(x+y-z)^2+(y-1)^2+(z+2)^2>=0`

Dấu = xảy ra 

`<=>` $\begin{cases}x+y-z=0\\y-1=0\\z+2=0\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}x=-3\\y=1\\z=-2\end{cases}$

\(9x^2-6xy+2y^2+1\)

\(=\left(3x\right)^2-2\cdot3x\cdot y+y^2+y^2+1\) 

\(=\left(3x+y\right)^2+y^2+1\)  

ta có \(\left(3x+y\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(y^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(3x+y\right)^2+y^2+1>0\forall x,y\)

a) Đặt  \(A=x^2+4x+7\)

\(A=\left(x^2+4x+4\right)+3\)

\(A=\left(x+2\right)^2+3\)

Mà  \(\left(x+2\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow A\ge3>0\)

b) Đặt  \(B=4x^2-4x+5\)

\(B=\left(4x^2-4x+1\right)+4\)

\(B=\left(2x-1\right)^2+4\)

Mà  \(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow B\ge4>0\)

c) Đặt  \(C=x^2+2y^2+2xy-2y+3\)

\(C=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+2\)

\(C=\left(x+y\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\)

Mà  \(\left(x+y\right)^2\ge0\forall x;y\)

      \(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow C\ge2>0\)

\(F=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+2021\\ F=\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+2021\ge2021\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy \(F_{min}=2021\)

\(\Rightarrow F=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+2021\\ \Rightarrow F=\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+2021\ge2021\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

thu gọn rồi chứng minh nó > 0