xét tam giác ADC và tam giác BAC có

góc C=góc C,AC/BC=DC/AC=2/3

=> tam giác ADC đồng dạng tam giác BAC (c-g-c)

=> AD/AB=AC/BC=> AD=AB.AC/BC=12.18/27=8cm

a, Ta có \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{7,5}{10}=\dfrac{3}{4}\)

=> MN // BC (Ta lét đảo) 

b, Vì MN // BC 

Theo hệ quả Ta lét \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{6}{8}=\dfrac{MN}{12}\Leftrightarrow MN=9cm\)

Tự vẽ hình nhá!

Ta có:

\(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{18}{27}=\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CD}{AC}\)

Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BAC\) có:

Góc C chung

\(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CD}{AC}\)( cmt)

Do đó: \(\Delta ADC\sim\Delta BAC\) (c.g.c)

=> \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow AD=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12.18}{27}=8\)

Vậy AD = 8(cm)

a) Ta có:

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3};\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\)

Xét tam giác \(AFE\) và tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{2}{3}\)

\(\widehat A\) chung

Do đó, \(\Delta AFE\backsim\Delta ABC\) (c.g.c)

Do đó, \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Do đó, \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EF = \frac{{BC.2}}{3} = \frac{{18.2}}{3} = 12\)

Vậy \(BC = 12cm\).

b) Vì \(FC = FD\) nên tam giác \(FDC\) cân tại \(F\).

Suy ra, \(\widehat {FDC} = \widehat {FCD}\) (tính chất)

Ta có:

\(\frac{{AC}}{{MD}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4};\frac{{BC}}{{DE}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\)

Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(MED\) ta có:

\(\frac{{AC}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{DE}} = \frac{3}{4}\)

\(\widehat {FCD} = \widehat {FDC}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta MED\) (c.g.c).

Bài 2: 

a: \(BC=\sqrt{8^2+6^2}=10\left(cm\right)\)

b: \(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

c: \(BC=\sqrt{5^2+12^2}=13\left(cm\right)\)

a: Xét ΔABC có AH/AB=AK/AC
nên HK//BC

b: Xet ΔABC có HK//BC

nên AH/AB=HK/BC

=>HK/18=6/9=2/3

=>HK=12(cm)

c: Xét ΔABM có HI//BM

nên HI/BM=AI/AM

Xét ΔAMC có IK//MC

nên IK/MC=AI/AM

=>HI/BM=IK/MC

mà BM=CM

nên HI=IK

=>I là trung điểm của HK

a) APĐL ta lét vào ΔABC ta có :

\(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow KH//BC\)

b) Xét ΔABC có: KH // BC 

\(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{KH}{BC}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{KH}{18}=\dfrac{6}{9}\Rightarrow KH=12\left(cm\right)\)

c)Theo bài ra ta có : M là trung điểm của BC => BM = CM (1)

xét tam giác ABC có :

HI//BC ( KH//BC)

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{HI}{BM}\) (2)

Xét Tam giác ABC có:

KI//BC (KH//BC)

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{KI}{CM}\) (3)

Từ (1) (2) và (3) => KI=HI => I là trung điểm của KH

Ta có: 

Suy ra: 

Xét ΔABC và ΔANM, ta có

      + Góc A chung

      + 

Suy ra: △ ANM đồng dạng  △ ABC(c.g.c) ⇒ 

Vậy MN =  = (8.18)/12 = 12 cm