Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :

\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)

\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

Vậy ta có điều phải chứng mình 

Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *

Khi đó:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự:

\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)

Trời ạ cay vãi shit đánh máy xong rồi tự nhiên bấm hủy T.T bài 1 ngắn đã đành ......

\(WLOG:a\ge b\ge c\)

Ta dễ có:\(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\)

\(\le\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{b+c+1}\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c+1}\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{a+b+c}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(b+c+1\right)\le1+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1+b+c\right)\le1-a\) ( 1 )

Mà theo AM - GM :

\(\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1+b+c\right)\le\left(\frac{1-b+1-c+1+b+c}{3}\right)^3=1\)

Khi đó ( 1 ) đúng

Vậy ta có đpcm

Nếu bài toán trở thành

\(\frac{a}{bc+2}+\frac{b}{ca+2}+\frac{c}{ab+2}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\) thì bài toán khó định hướng hơn rất nhiều :D

Lời giải:

Sửa đề: \(\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}+\frac{1}{(b+c+\sqrt{2(b+a)})^3}+\frac{1}{(c+a+\sqrt{2(b+c)})^3}\leq \frac{8}{9}\)

--------------------------

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a+b+\sqrt{2(a+c)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(a+c)}{2}}\)

\(\Rightarrow [a+b+\sqrt{2(a+c)}]^3\geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}\leq \frac{2}{27(a+b)(a+c)}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}(1)\)

Lại theo BĐT AM-GM:

\((a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ac)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}=\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)(2)\)

Và:

\(16(a+b+c)\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}\geq \frac{3(a+b+c)}{ab+bc+ac}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq \frac{3}{16}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{6(ab+bc+ac)}\leq \frac{1}{6.\frac{3}{16}}=\frac{8}{9}\) (đpcm)

Tham khảo

Câu hỏi của Châu Trần - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

à xl gửi lộn

Oh yeah mik lm đc r.

\(\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}< =\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{4}\\ \)

\(=>VT< =sigma\frac{1}{ab+a+2}+\frac{3}{4}\)

\(Có\frac{1}{ab+a+2}< =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

\(CMTT\frac{1}{bc+c+2}< =\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)

\(\frac{1}{ca+c+2}< =\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)

Cộng lại => Vế trái <= 1/4.3/4+3/4=3/2

=> đpcm.

bạn có đang on không chat vs mình đi

Trước khi đọc lời giải hãy thăm nhà em trước nhé ! See method from solution! Cảm ơn mn!

Ok, giờ chú ý:

\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{ab.ca+abc+ab}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\) với abc = 1.

Như vậy: \(VT=\sqrt{\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}\right)^2}\le\sqrt{3\left(\Sigma\frac{1}{\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+1}\right)}\)

\(\le\sqrt{\frac{3}{16}\left[\Sigma\left(\frac{9}{ab+a+1}+1\right)\right]}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)

\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)

\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

Đề: \(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\sqrt{3}\) ???

*Ta chứng minh : \(x^4-x^3+2\ge x+1\forall x>0\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3-x+1\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)\ge0\) ( đúng )

Do đó: \(VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\) \(\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

cauchy-schwarz: 

\(VT=\frac{c^2}{ac^2+bc^2}+\frac{a^2}{a^2b+a^2c}+\frac{b^2}{b^2c+b^2a}+\frac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2abc}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)