Ta có: \(\text{Δ}=\left(1-4m\right)^2-4\left(3-2m\right)\left(1-2m\right)\)

\(=16m^2-8m+4-4\left(2m-3\right)\left(2m-1\right)\)

\(=16m^2-8m+4-4\left(4m^2-2m-6m+3\right)\)

\(=16m^2-8m+4-4\left(4m^2-8m+3\right)\)

\(=16m^2-8m+4-16m^2+32m-12\)

\(=24m-8\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

\(\left\{{}\begin{matrix}3-2m\ne0\\24m-8>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m\ne3\\24m>8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{3}{2}\\m>\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\cdot\left(m+1\right)\cdot m\)

\(=4m^2-4m+4-4m^2-4m\)

\(=-8m+4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\-8m+4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\-8m>-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\)

Câu a của bài này rất vô lý vì lớp 9 chưa học cách xác định nghiệm của BPT bậc 2.

\(\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)=m^2-12m+16\)

a.

Phương trình có 2 nghiệm pb khi:

\(m^2-12m+16>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>6+2\sqrt{5}\\m< 6-2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

b.

Khi pt có 2 nghiệm, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x_1+x_2\right)=2m-4\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=-1\)

Đây là biểu thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m

Từ đường tròn lượng giác, trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2};3\pi\right)\):

- Nếu \(0< t< 1\) thì \(sinx=t\) có 4 nghiệm

- Nếu \(-1< t< 0\) thì \(sinx=t\) có 3 nghiệm

- Nếu \(t=0\) thì \(sinx=t\) có 3 nghiệm

- Nếu \(t=1\) thì \(sinx=t\) có 2 nghiệm

- Nếu \(t=-1\) thì \(sinx=t\) có 1 nghiệm

Do đó pt đã cho có 5 nghiệm pb trong khoảng đã cho khi:

\(2t^2-\left(5m+1\right)t+2m^2+2m=0\) có 2 nghiệm pb thỏa mãn:

- TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=-1\\0< t_2< 1\end{matrix}\right.\)

- TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}-1< 0< t_1\\t_2=1\end{matrix}\right.\)

- TH3:  \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=0\\t_2=1\end{matrix}\right.\)

Về cơ bản, chỉ cần thay 1 nghiệm bằng 0 hoặc 1 rồi kiểm tra nghiệm còn lại có thỏa hay ko là được

a) 2x² - 6x -1 = 0 

delta phẩy = 9 + 2 = 11 = (\(\sqrt{11}\))² 

x₁ = \(\dfrac{3+\sqrt{11}}{2}\)

x₂ = \(\dfrac{3-\sqrt{11}}{2}\)

b) xét delta phẩy có :

9 - 2.(2m-5) = 19 - 4m 

+) điều kiện để phương trình vô nghiệm là 19 - 4m < 0 => m > \(\dfrac{19}{4}\)

+) điều kiện để phương trình có nghiệm kép là 19 - 4m = 0 => m = \(\dfrac{19}{4}\)

+) điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 19 - 4m > 0 

=> m < \(\dfrac{19}{4}\)