Lời giải:

Có 44 số a,b,c,da,b,c,d và 33 số dư có thể xảy ra khi chia một số cho 33 là 0,1,20,1,2

Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất [43]+1=2[43]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho 3

Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3a,b⇒a−b⋮3

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3

Mặt khác:

Trong 4 số a,b,c,da,b,c,d

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 44 là a,ba,b

⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Nếu a,b,c,da,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,da,b,c,d có số dư khi chia cho 44 lần lượt là 0,1,2,30,1,2,3

⇒c−a⋮2;d−b⋮2⇒c−a⋮2;d−b⋮2

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12

1. Đề sai, ví dụ (a;b;c)=(1;2;2) hay (1;2;7) gì đó

2. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 4 số a;b;c;d luôn có ít nhất 2 số đồng dư khi chia 3. 

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b thì \(a-b⋮3\)

Ta có 2 TH sau:

- Trong 4 số có 2 chẵn 2 lẻ, giả sử a, b chẵn và c, d lẻ \(\Rightarrow a-b,c-d\) đều chẵn \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(c-d\right)⋮4\)

\(\Rightarrow\) Tích đã cho chia hết 12

- Trong 4 số có nhiều hơn 3 số cùng tính chẵn lẽ, khi đó cũng luôn có 2 hiệu chẵn (tương tự TH trên) \(\Rightarrowđpcm\)

3. Với \(n=1\) thỏa mãn

Với \(n>1\) ta có \(3^n\equiv\left(5-2\right)^n\equiv\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow n.2^n+3^n\equiv n.2^n+\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)

Mặt khác \(n.2^n+\left(-2\right)^n=2^n\left(n+\left(-1\right)^n\right)\)

Mà \(2^n⋮̸5\Rightarrow n+\left(-1\right)^n⋮5\)

TH1: \(n=2k\Rightarrow2k+1⋮5\Rightarrow2k+1=5\left(2m+1\right)\Rightarrow k=5m+2\)

\(\Rightarrow n=10m+4\)

TH2: \(n=2k+1\Rightarrow2k+1-1⋮5\Rightarrow2k⋮5\Rightarrow k=5t\Rightarrow n=10t+1\)

Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}n=10k+4\\n=10k+1\end{matrix}\right.\) (\(k\in N\)) thì số đã cho chia hết cho 5

a) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\) (đpcm)

b) Có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

=> \(\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\)

=> \(\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}\Rightarrow\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)

+) Chia 4 số a; b; c;d cho 3 . Số dư có thể là 0; 1; 2

theo nguyên lí Dirichle: có ít nhất 2 trong 4 số a; b; c; d có cùng số dư khi chia cho 3

=> Hiệu hai số đó chia hết cho 3

=> Trong số tất cả các hiệu a-b; a - c; a - d; b - c; b - c; c - d có hiệu chia hết cho 3

=> tích A chia hết cho 3     (*)

+) Xét 3 số a; b; c . chia 3 số đó cho 2 . Số dư có thể là 0;1

Theo nguyên lí Dirichle: có ít nhất 2 trong số a; b; c có cùng số dư khi chia cho 2

=> Hiệu hai số đó chia hết cho 2

=> Trong hiệu a - b; a - c; b - c có hiệu chia hết cho 2

=> Tích (a - b)(a - c)(b - c) chia hết cho 2

+) Xét 3 số b; c; d . tương tự như trên => Có ít nhất 2 trong 3 số b; c;d có cùng số dư khi chia cho 2

- Nếu d cùng số dư với b hoặc c => (b - d) hoặc (c - d) chia hết cho 2 => tích (a - d)(b - d)(c - d) chia hết cho 2

- Nếu d không cùng số dư với cả b và c => b và c có cùng số dư 

* Nếu a cùng số dư với b; c => a - b; b - c chia hết cho 2 => Tích (a - b)(a - c)(b - c) chia hết cho 2 chia hết cho 4

* Nếu a không cùng số dư với b và c => a và d cùng số dư => a - d chia hết cho 2 => tích (a - d)(b - d)(c - d) chia hết cho 2 

=> Tích A luôn chia hết cho 4   (**)

Từ (*)(**) =>A  luôn chia hết cho 3.4 = 12

lồn mẹ mi ạ làm sai to