Cho các số thực không âm \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\) thỏa mãn \(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1\) . Tìm giá trị lớn nhất của \(M=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5\)
Chứng minh bất đẳng thức :
\(\dfrac{a_1^2}{a_2+a_3+a_4}+\dfrac{a_2^2}{a_3+a_4+a_5}+\dfrac{a_3^2}{a_4+a_5+a_1}+\dfrac{a^2_4}{a_5+a_1+a_2}+\dfrac{a_5^2}{a_1+a_2+a_3}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
trong đó : a1, a2, ....., a5 là các số dương thỏa mãn điều kiện:
\(a_1^2+a^2_2+a_3^2+a_4^2+a_5^2\ge1\)
Cho 6 số dương \(a_1,a_2,a_3,a_{4,}a_5,a_6\) thỏa mãn: \(a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6\)
Chứng minh rằng tồn tại một lục giác đều \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\)Có tất cả các góc bằng nhau và :
\(A_1A_2=a_1;A_3A_4=a_3;A_5A_6=a_5;A_6A_{1=a_6}\)
Tìm các số nguyên \(a_1;a_2;......;a_{10}\) thỏa mãn: \(\left|a_1-a_2\right|\) + \(\left|a_2-a_3\right|\) + \(\left|a_3-a_4\right|\) + \(\left|a_4-a_5\right|\) + ..... + \(\left|a_9-a_{10}\right|\) + \(\left|a_{10}-a_1\right|\) = 2015.
Do \(\left(a_1-a_2\right)+\left(a_2-a_3\right)+...+\left(a_{10}-a_1\right)=0\) là 1 số chẵn
\(\Rightarrow\left|a_1-a_2\right|+\left|a_2-a_3\right|+...+\left|a_{10}-a_1\right|\) là một số chẵn
Mà \(2015\) lẻ \(\Rightarrow\) không tồn tại bộ số nguyên nào thỏa mãn phương trình
Cho 5 số nguyên: a1; a2; a3; a4; a5
CMR: \(D=\left(a_1-a_2\right).\left(a_1-a_3\right).\left(a_1-a_4\right).\left(a_1-a_5\right).\left(a_2-a_3\right).\left(a_2-a_4\right).\left(a_2-a_5\right).\left(a_3-a_4\right).\left(a_3-a_5\right).\left(a_4-a_5\right)⋮288\)
Từ 2 điều trên => D chia hết cho 9 (1)
Có 5 số nguyên mà chỉ có 2 loại số lẻ và chẵn nên theo nguyên lí Đi rich let có ít nhất 3 số cùng lẻ (chẵn)
Nếu cả 5 số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ ta dễ dàng => D chia hết cho 32+ Nếu trong 5 số, có 1 số lẻ, 4 số chẵn, không mất tính tổng quát ta giả sử 4 số đó là a1; a2; a3; a4, dễ dàng => D chia hết cho 32+ Nếu trong 5 số, có 1 số chẵn, 4 số lẻ tương tự như trên cũng => D chia hết cho 32
+ Nếu trong 5 số, có 3 số chẵn, 2 số lẻ ; 3 số chẵn này khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 2. Có 3 số mà chỉ có 2 loại số dư nên theo nguyên lí Đi rich let có ít nhất 2 số cùng dư khi chia cho 4, hiệu của chúng chia hết cho 4 cộng với 3 hiệu còn lại chia hết cho 2 tạo bởi 3 số chẵn (trừ trường hợp trên) và 2 số lẻ cũng => D chia hết cho 32+ Xét tương tự với trường hợp trong 5 số có 3 số lẻ, 2 số chẵn
Vậy trong các trường hợp ta luôn được D chia hết cho 32 (2)
Từ (1) và (2), do (9;32)=1 => D chia hết cho 288 (đpcm)
Câu hỏi : Cho 5 số nguyên phân biệt:
\(a_1\);\(a_2;a_3;a_4\)và \(a_5\)
Xét tích P chia hết cho 288. P=\(\left(a_1-a_2\right).\left(a_1-a_3\right).\left(a_1-a_4\right).\left(a_1-a_5\right).\left(a_2-a_3\right).\left(a_2-a_4\right).\left(a_2-a_5\right).\left(a_3-a_4\right).\left(a_3-a_5\right).\left(a_4-a_5\right)\)
Cho \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4} + {a_5}{x^5}\) . Tính:
a) \({a_3}\)
b) \({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\)
a)
+) Ta có: \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = 1 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}{x^2} - \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} - \frac{1}{{32}}{x^5}\)
+) Đồng nhất hệ số với khai triển ở đề bài ta thấy: \({a_3} = \frac{{ - 5}}{4}\)
b)
+) Thay \(x = 1\) vào biểu thức khai triển ở đề bài, ta có: \({\left( {1 - \frac{1}{2}.1} \right)^5} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\)
+) Vậy tổng :\({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)
B 1 help me
cho 4 số a\(a_1;a_2;a_3;a_4thỏa\) mãn : \(a_{2^2}\) \(a_1.a_3;a_{3^2}=a_2.a_4;a_{4^2}=a_3.a_5;a_{5^2}=a_4.a_6\)
chứng minh rằng :\(\dfrac{a_1}{a_6}=\left(\dfrac{a_1+a_2+...+a_5}{a_2+a_3+...+a_6}\right)\)
Cho : \(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=600\)
CMR : \(a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^5⋮6\)
Cho : \(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=600\)
Chứng minh rằng : \(a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3+a_5^3⋮6\)
Sơ lược cách giải :
Xét tổng \(A=a_1^3+....+a_5^3-\left(a_1+....+a_5\right)=\left(a_1^3-a_1\right)+...+\left(a_5^3-a_5\right)\)
Chứng minh được \(\left(a_1^3-a_1\right);..;\left(a_5^3-a_5\right)⋮6\Rightarrow\left(a_1^3-a_1\right)+...+\left(a_5^3-a_5\right)⋮6\)
Hay \(A⋮6\) mà \(\left(a_1+....+a_5\right)=600⋮6\) \(\Rightarrow\left(a^3_1+....+a^3_5\right)⋮6\)