Question

Cho 5 số nguyên: a₁; a₂; a₃; a₄; a₅

CMR: \(D=\left(a_1-a_2\right).\left(a_1-a_3\right).\left(a_1-a_4\right).\left(a_1-a_5\right).\left(a_2-a_3\right).\left(a_2-a_4\right).\left(a_2-a_5\right).\left(a_3-a_4\right).\left(a_3-a_5\right).\left(a_4-a_5\right)⋮288\)

Answer 1

Xét 4 số: a₁; a₂; a₃; a₄; 4 số này khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0; 1; 2. Có 4 số mà chỉ có 3 loại số dư nên theo nguyên lí Đi rich let có ít nhất 2 số cùng dư khi chia cho 3, hiệu của chúng chia hết cho 3Tương tự xét 4 số a₂; a₃; a₄; a₅ và => 4 số này tạo ra ít nhất 1 hiệu chia hết cho 3

Từ 2 điều trên => D chia hết cho 9 (1)

Có 5 số nguyên mà chỉ có 2 loại số lẻ và chẵn nên theo nguyên lí Đi rich let có ít nhất 3 số cùng lẻ (chẵn)

Nếu cả 5 số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ ta dễ dàng => D chia hết cho 32+ Nếu trong 5 số, có 1 số lẻ, 4 số chẵn, không mất tính tổng quát ta giả sử 4 số đó là a₁; a₂; a₃; a₄, dễ dàng => D chia hết cho 32

+ Nếu trong 5 số, có 1 số chẵn, 4 số lẻ tương tự như trên cũng => D chia hết cho 32

+ Nếu trong 5 số, có 3 số chẵn, 2 số lẻ ; 3 số chẵn này khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 2. Có 3 số mà chỉ có 2 loại số dư nên theo nguyên lí Đi rich let có ít nhất 2 số cùng dư khi chia cho 4, hiệu của chúng chia hết cho 4 cộng với 3 hiệu còn lại chia hết cho 2 tạo bởi 3 số chẵn (trừ trường hợp trên) và 2 số lẻ cũng => D chia hết cho 32

+ Xét tương tự với trường hợp trong 5 số có 3 số lẻ, 2 số chẵn

Vậy trong các trường hợp ta luôn được D chia hết cho 32 (2)

Từ (1) và (2), do (9;32)=1 => D chia hết cho 288 (đpcm)