Cho C thuộc nửa đường tròn đường kính AB.Lấy D thuộc cung AC nhỏ .AD cắt BC tại N.AC cắt BD tại H .C/M
a ) ND.NA=NC.NB
b ) NH vuông góc AB
c ) AD.AN+BC.BN=AB^2
Cho nửa (O) đường kính AB . Gọi C,D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD) . AD cắt BC tại H , AC cắt BD tại E . Chứng minh EH vuông góc AB
Xét (O) có: AB là đường kính chắn nửa (O) (gt).
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACB}=90^o.\\\widehat{ADB}=90^o.\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC\perp AE.\\AD\perp BE.\end{matrix}\right.\)
Xét tam giác AEB có:
+ AD là đường cao tam giác AEB \(\left(AD\perp BE\right).\)
+ BC là đường cao tam giác AEB \(\left(BC\perp AE\right).\)
Mà AD cắt BC tại H (gt).
\(\Rightarrow\) H là trực tâm.
\(\Rightarrow\) EH là đường cao tam giác AEB.
\(\Rightarrow EH\perp AB\left(đpcm\right).\)
Cho nửa đường trong tâm O đường kính AB; trên nửa đuòng tròn lấy điểm C (cung BC nhỏ hơn cung AC), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn O cắt AB tại D. Kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), kẻ BK vvuoong góc với CD ( K thuộc CD); CH cắt BK tại E.
a) Chứng minh: CB là phân giác của góc DCE
b) Chứng minh: CK + BD < EC
c) Chứng minh: BH. AD = AH, BD
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Lấy điểm C trên cung AB sao cho AC<BC
a)CMR:tam giác ABC vuông
b)Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O),BC cắt (d) tại F.Qua C vẽ tiếp tuyến (d') với đường tròn (O) cắt (d) tại D.CMR:DA=DF
c)Vẽ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB),BD cắt CH tại K.CMR:K là trung điểm của CH
d)Tia AK cắt DC tại E.CMR:EB là tiếp tuyến của (O) ,suy ra OE//CA?
1. cho tam giác ABC.Tia Ax nằm khác phía với AC đối với đường thẳng AB thỏa mãn góc xAB bằng góc ACB.chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2.cho nửa đường tròn (O) đường kính AB trên đoạn AB lấy điểm M,gọi H là trung điểm của AM.đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C .đường tròn đường kính MB cắt BC tại I. CM HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MB
3.cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C thuộc nửa đường tròn.vẽ CH vuông góc với AB(H thuộc AB),M là trung điểm CH,BM cắt tiếp tuyến Ax của O tại P .chứng minh PC là tiếp tuyến của (O)
4.cho đường tròn O đường kính AB, M là một điểm trên OB.đường thẳng qua M vuông góc với AB tại M cắt O tại C và D. AC cắt BD tại P,AD cắt BC tại Q,AB cắt PQ tai I chứng minh IC,ID là tiếp tuyến của (O)
5.cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (AB<AC).T là một điểm thuộc OC.đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A của O tại P.BH cắt (O) tại D. chứng minh PD là tiếp tuyến của O
6.cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O. phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Ke dây cung CD (C thuộc cung AD). AC cắt BD tại M , AD cắt BC tại H.
a, Chứng minh : H là trực tâm của tam giác MAB.
MH cắt AB tại K.Chứng minh 4 điểm K, H, D, B thuộc một đường tròn.
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. CD là dây cung thay đổi của nửa đường tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A và D khác B). AD cắt BC tại H, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại F.
c) Gọi I là trung diểm của HF. Chứng minh tia OI là tia phân giác của góc COD.
d) Chứng minh điểm I thuộc một đường tròn cố định khi CD thay đổi
c) Vì F C H = F D H = 90 o nên tứ giác CHDF nội tiếp đường tròn tâm I đường kính FH
=> IC = ID. Mà OC = OD nên ∆ OCI = ∆ ODI (c.c.c) => COI = DOI
=> OI là phân giác của góc COD
d) Vì OC = CD = OD = R nên ∆ OCD đều => COD = 60o
Có C A D = 1 2 C O D = 30 o = > C F D = 90 o − C A D = 60 o
Xét góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CD của (I), có
CID = 2CFD = 120o => OIC = OID = C I D 2 = 60 o
Xét góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CD của (I), có
CID = 2CFD = 120o => OIC = OID = C I D 2 = 60 o
Mặt khác COI = DOI = C O D 2 = 30 o = > O I D + D O I = 90 o = > Δ O I D vuông tại D
Suy ra O I = O D sin 60 o = 2 R 3
Vậy I luôn thuộc đường tròn O ; 2 R 3
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. CD là dây cung thay đổi của nửa đường tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A và D khác B). AD cắt BC tại H, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại F.
a) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp
b) Chứng minh CF.CA = CH.CB
a) Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên
A C B = A D B = 90 o ⇒ F C H = F D H = 90 o ⇒ F C H + F D H = 180 o
Suy ra tứ giác CHDF nội tiếp
b) Vì AH ⊥ BF, BH ⊥ AF nên H là trực tâm ∆ AFB ⇒ FH ⊥ AB
⇒ C F H = C B A ( = 90 o − C A B ) ⇒ Δ C F H ~ Δ C B A ( g . g ) ⇒ C F C B = C H C A ⇒ C F . C A = C H . C B
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm H cố định trên đoạn OA, đường vuông góc với OA tại H cắt nửa đường tròn tại C. Gọi N là trung điểm của BC. M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC (M ≠ B; M ≠ C). Tia BM cắt HC tại K; AM cắt HC tại E. Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK di chuyển trên một đường thẳng cố định khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.
AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK tại D
Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow\angle EMB+\angle EHB=90+90=180\)
\(\Rightarrow EMBH\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle KBD=\angle MBH=\angle AEH\)
Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow\angle AEH=\angle KDB\Rightarrow\angle KBD=\angle KDB\)
\(\Rightarrow\Delta KDB\) cân tại K có KH là đường cao
\(\Rightarrow H\) là trung điểm BD mà B,H cố định \(\Rightarrow D\) cố định
Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow I\in\) trung trực AD mà A,D cố định
\(\Rightarrow\) đpcm
cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax,By là các tia vuông góc với AB (Ax,By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax tại C và cắt By tại D
a) CM: CD=AC+BD VÀ COD 90 độ
b) AD cắt BC tại N . CM: MN // BD
c) tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn
d) gọi H là trung điểm của AM. Chứng minh 3 điểm O,H,C thẳng hàng
a: Xét (O) co
CM,CA là tiếp tuyên
=>CM=CA
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
=>DM=DB
CD=CM+MD
=>CD=CA+BD
b: Xet ΔACN và ΔDBN có
góc NAC=góc NDB
góc ANC=góc DNB
=>ΔACN đồng dạng vơi ΔDBN
=>AC/BD=AN/DN
=>CN/MD=AN/ND
=>MN//AC//BD