@Cool Kid:a^3+b^3+c^3+3abcgeSigma absqrt{2left(a^2+b^2right)}LeftrightarrowSigmafrac{1}{2}left(a+b-cright)left(a-bright)^2geSigmafrac{ableft(a-bright)^2}{sqrt{2left(a^2+b^2right)}+a+b}Hay một BĐT mạnh (và đẹp:v) hơn là: LeftrightarrowSigmafrac{1}{2}left(a+b-cright)left(a-bright)^2geSigmafrac{ableft(a-bright)^2}{2left(a+bright)}Ta cần chứng minh: VT-VPSigmafrac{left(a+b-cright)^2left(a-bright)^2}{2left(a+bright)}-frac{left(a-bright)^2left(b-cright)^2left(c-aright)^2}{2left(a+bright)left(b+cright)...
Đọc tiếp
@Cool Kid:
\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge\Sigma ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\)
Hay một BĐT mạnh (và đẹp:v) hơn là:
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\)
Ta cần chứng minh: \(VT-VP=\Sigma\frac{\left(a+b-c\right)^2\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
Giả sử \(a\ge c\ge b\) và đặt \(a=b+u+v,c=b+v\)
Bất đẳng thức này đúng theo Cauchy-Schwawrz:
\(VT-VP\ge\frac{4\left(c+a-b\right)^2\left(c-a\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
Last inequality is: https://imgur.com/tRsHOfr (mình không gửi ảnh được nên gửi link vậy!)
Done!