Lời giải:
Để PTTT tại $x=x_0$ song song với trục hoành thì $f'(x_0)=0$ và $f(x_0)\neq 0$

$f'(x)=4x^3-4x=0\Leftrightarrow x=0;1;-1$

Thử các giá trị $x$ này vô $f(x_0)$ xem có khác $0$ hay không ta thu được $x=\pm 1$

Tức là có 2 tiếp tuyến của $(C)$ song song với trục hoành.

\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)

a. \(\dfrac{2x+2}{x-1}=-2\Rightarrow2x+2=-2x+2\Rightarrow x=0\Rightarrow y'\left(0\right)=-4\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=-4\left(x-0\right)-2\)

b. Tiếp tuyến song song đường thẳng đã cho nên có hệ số góc k=-4

\(\Rightarrow\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}=-4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=-2\\x=2\Rightarrow y=6\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=-4\left(x-0\right)-2\\y=-4\left(x-2\right)+6\end{matrix}\right.\)

c. Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm

Pt tiếp tuyến qua M có dạng: \(y=\dfrac{-4}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{2x_0+2}{x_0-1}\)

Do tiếp tuyến qua A nên:

\(3=\dfrac{-4}{\left(x_0-1\right)^2}\left(4-x_0\right)+\dfrac{2x_0+2}{x_0-1}\)

\(\Leftrightarrow x_0^2-10x_0+21=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=3\Rightarrow y'\left(3\right)=-1;y\left(3\right)=4\\x_0=7;y'\left(7\right)=-\dfrac{1}{9};y\left(7\right)=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=-1\left(x-3\right)+4\\y=-\dfrac{1}{9}\left(x-7\right)+\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

d.

Do tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác vuông cân nên có hệ số góc bằng 1 hoặc -1

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}=1\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\Rightarrow y=4\\x=-1\Rightarrow y=0\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}y=-1\left(x-3\right)+4\\y=-1\left(x+1\right)+0\end{matrix}\right.\)

hello các bạn

Đáp án là C

\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)

a) \(y'=-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)

pt tiếp tuyến : \(\left[{}\begin{matrix}y=-\left(x-3\right)+4=-x+7\\y=-\left(x+1\right)=-x-1\end{matrix}\right.\)

b) \(k=\pm1\)

\(y'< 0\forall x\Rightarrow y'=-1\)

làm như trên

c) hoành độ tiếp điểm \(x=\pm2\)

TH x = 2 

\(k=-4\)

pt tiếp tuyến : \(y=-4\left(x-2\right)+6=-4x+14\)

TH x = -2

\(k=-\dfrac{4}{9}\)

pt tiếp tuyến : \(y=-\dfrac{4}{9}\left(x+2\right)+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{9}\)

f'(x)=y'=-3x^2+2x

f'(2)=-3*2^2+2*2=-3*4+4=-8

f(2)=-2^3+2^2-1=-8-1+4=-9+4=-5

y=f(2)+f'(2)(x-2)

=-5+(-8)(x-2)

=-8x+16-5

=-8x+11