Chứng minh rằng với mọi số dương x,y ta có : \(\dfrac{x}{y} +\dfrac{y}{x} >hoặc = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \)
Với x, y, z là 3 số dương, chứng minh rằng:
\(\dfrac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}=\dfrac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\)
Ta có :VT-VP=
\(\left(\dfrac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\dfrac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)+\left(\dfrac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}-\dfrac{z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)+\left(\dfrac{z}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}-\dfrac{x}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)\(=\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{y-z}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}+\dfrac{z-x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}\)\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)=0\)
\(\Rightarrow VT=VP\)
Vậy ...
CMR với mọi số thực dương x,y ta luôn có BĐT
\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}+\sqrt{xy}\ge3\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+\sqrt{xy}=\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{x^3+y^3}{2xy}+\sqrt{xy}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x^3+y^3)^2}{4xy\sqrt{xy}}}\)
Bằng BĐT AM-GM, dễ thấy:
\(x^3+y^3\geq \frac{1}{2}(x+y)(x^2+y^2)\geq \sqrt{xy}(x^2+y^2)\)
\(\Rightarrow (x^3+y^3)^2\geq xy(x^2+y^2)^2=xy\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{(x^2+y^2)^3}\geq xy\sqrt{2xy}\sqrt{(x^2+y^2)^3}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+\sqrt{xy}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}{4}}=3\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
a)Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=3.Chứng minh rằng :
\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\)+\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\)+\(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\)≤1
b)Chứng minh rằng: \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt{a\left(a+3b\right)}+\sqrt{b\left(b+3c\right)}+\sqrt{c\left(c+3a\right)}}\)≥\(\dfrac{1}{2}\)với a,b,c là các số dương
a.
\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
b.
\(VP=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+2\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+2\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)
\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{4a+a+3b+4b+b+3c+4c+c+3a}\)
\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Cho 2 số dương x,y. Chứng minh: \(\dfrac{2015}{2016}\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\dfrac{2016}{2017}\sqrt{\dfrac{y}{x}}>1+\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{6\sqrt{xy}}\)
viết các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1,chứng minh rằng
\(\sqrt{\dfrac{x^4+y^4+z}{3z^3}}+\sqrt{\dfrac{y^4+z^4+x}{3x^3}}+\sqrt{\dfrac{z^4+x^4+y}{3y^3}}\ge x^2+y^2+z^2\)
Mọi người giúp em với em cần gấp ạ
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le1\)
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
\(GT\Leftrightarrow xy=2\left(x+y\right)\ge4\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{xy}\ge4\)
\(\Rightarrow4\le\sqrt{xy}\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=4\)
Cho x ; y là các số thực dương thỏa mãn
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)
Chứng minh rằng :
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
Áp dụng bđt Cô-si vào 2 số dương có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\sqrt{xy}\ge4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\sqrt{xy}}=2\sqrt{4}=4\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=4\)
`1/x+1/y>=2/(\sqrt{xy})`
`<=>1/2>=2/(\sqrt{xy})`
`<=>\sqrt{xy}>=4`
`=>\sqrt{x}+\sqrt{y}>=2.2=4`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=4`
cho x,y,z,t là các số dương và \(\sqrt{x}\)+\(\sqrt{y}\)+\(\sqrt{z}\)+\(\sqrt{t}\)=4
chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{x}}{1+y}\)+\(\dfrac{\sqrt{y}}{1+z}\)+\(\dfrac{\sqrt{z}}{1+t}\)+\(\dfrac{\sqrt{t}}{1+x}\)\(\ge\)2