gọi n là nghiệm dương pt \(x^2P2-xP3=8\). tím giá trị \(M=A^3_n+C^3_n\)
Những câu hỏi liên quan
Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(3A^{n-2}_n+C^3_n=40\). Hệ số của x6 trong khai triển \(\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^{2n}\) là:
A.-1024 B.1024 C.-1042 D.1042
Tìm hệ số của x4 trong khai triển Newton của biểu thức \(\left(x^2+\dfrac{2}{x}\right)^n\) ( x khác 0) biết rằng n là số nguyên dương thỏa mản đẳng thức
\(2C^1_n+3C^2_n+4C^3_n+...+\left(n+1\right)C^n_n=111\)
Xét khai triển:
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n\)
\(\Leftrightarrow x\left(1+x\right)^n=C_n^0x+C_n^1x^2+C_n^2x^3+...+C_n^nx^{n+1}\)
Đạo hàm 2 vế:
\(\left(1+x\right)^n+nx\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^0+2C_n^1x+3C_n^2x^2+...+\left(n+1\right)C_n^nx^n\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow2^n+n.2^{n-1}=1+2C_n^1+3C_n^2+...+\left(n+1\right)C_n^n\)
\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)-1=111\)
\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)=112=2^4.7\)
\(\Rightarrow n=5\)
\(\left(x^2+\dfrac{2}{x}\right)^5=\sum\limits^5_{k=0}C_5^kx^{2k}.2^{5-k}.x^{k-5}=\sum\limits^5_{k=0}C_5^k.2^{5-k}.x^{3k-5}\)
\(3k-5=4\Rightarrow k=3\Rightarrow\) hệ số: \(C_5^3.2^2\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển \(\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{n^{ }}\) , biết n là số tự nhiên thỏa mãn \(C^3_n=\dfrac{4}{3}n+2C^2_n\)
A.144 B.134 C.115 D.141
Chứng minh rằng: \(C^1_n+2C^2_n+3C^3_n+...+nC^n_n=n.2^{n-1}\)
Với k \(\in\)N* ; ta có : \(kC_n^k=k.\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!k!}=\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!\left(k-1\right)!}=\dfrac{n\left(n-1\right)!}{\left[n-1-\left(k-1\right)\right]!\left(k-1\right)!}=nC_{n-1}^{k-1}\)
Khi đó : \(C_n^1+2C_n^2+...+nC^n_n\) = \(\Sigma^n_{k=1}nC^{k-1}_{n-1}\)
= \(n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\) \(=n.\left(1+1\right)^{n-1}=n.2^{n-1}\) ( đpcm )
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng: \(C^1_n+2C^2_n+3C^3_n+...+nC^n_n=n.2^{n-1}\)
Ta có:
\(k.C_n^k=k.\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!.k!}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(n-1-\left(k-1\right)\right)!\left(k-1\right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)
Do đó:
\(1C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\)
\(=n.C_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+n\left(C_{n-1}^{n-1}\right)\)
\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)
\(=n.2^{n-1}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Giải: \(1.2.C^2_n+2.3.C^3_n+3.4.C^4_n+...+\left(n-1\right).n.C^n_n=64n.\left(n-1\right)\)
ĐK của pt là \(n\ge2\)
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+x.C_n^1+x^2.C_n^2+x^3.C^3_n+x^4.C_n^4+...+x^n.C_n^n\)
\(\Rightarrow n\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^1+2x.C_n^2+3x^2.C^3_n+4x^3.C_n^4...+n.x^{n-1}.C^n_n\) ( đạo hàm hai vế )
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(x+1\right)^{n-2}=2.C_n^2+2.3.x.C_n^3+3.4.x^2.C_n^4+...+\left(n-1\right)n.x^{n-2}.C_n^n\) ( đạo hàm hai vế )
Thay x=1 ta được: \(n\left(n-1\right).2^{n-2}=2.C_n^2+2.3.C^3_n+3.4.C_n^4+...+\left(n-1\right).n.C^n_n\)
\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right).2^{n-2}=64n.\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)=0\\2^{n-2}=64\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0;n=1\left(ktm\right)\\n=8\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(n=8\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Giải: \(1.2.C^2_n+2.3.C^3_n+3.4.C^4_n+...+\left(n-1\right).n.C^n_n=64.n.\left(n-1\right)\)
Tìm n: \(\frac{1}{C^3_3}+\frac{1}{C^3_4}+\frac{1}{C^3_5}+...+\frac{1}{C^3_n}=\frac{89}{30}\)
\(\Leftrightarrow\frac{6}{1.2.3}+\frac{6}{2.3.4}+\frac{6}{3.4.5}+...+\frac{6}{\left(n-2\right)\left(n-1\right)n}=\frac{89}{30}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{1.2}-\frac{3}{2.3}+\frac{3}{2.3}-\frac{3}{3.4}+...+\frac{3}{\left(n-2\right)\left(n-1\right)}-\frac{3}{\left(n-1\right)n}=\frac{89}{30}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{1.2}-\frac{3}{\left(n-1\right)n}=\frac{89}{30}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{n\left(n-1\right)}=-\frac{22}{15}\) (vô lý)
Vậy ko tồn tại n thỏa mãn
\(A^3_n-2.C^4_n=3A^2_n\)
Xem chi tiết
\(n\ge4\)
\(\frac{n!}{\left(n-3\right)!}-\frac{n!.2}{4!.\left(n-4\right)!}=\frac{n!.3}{\left(n-2\right)!}\)
\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n-2\right)-\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{12}=3n\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow12\left(n-2\right)-\left(n-2\right)\left(n-3\right)=36\)
\(\Leftrightarrow n^2-17n+66=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=6\\n=11\end{matrix}\right.\)