Đáp án B.

PT: cos   x   = 1 2  có 2 nghiệm thuộc trên đoạn 0 ; 2 π  do đó để PT đã cho có 4 nghiệm thực thuộc đoạn 0 ; 2 π  thì

TH1: m= cosx có 1 nghiệm thuộc đoạn 0 ; 2 π

TH2: m= cosx có 2 nghiệm thuộc đoạn 0 ; 2 π trong đó có 1 nghiệm trùng

Vậy m= -1; m=0.

1.

\(cos2x-3cosx+2=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2x-3cosx+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(x=k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow\) không có nghiệm x thuộc đoạn

\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow x_1=\dfrac{\pi}{3};x_2=\dfrac{5\pi}{3}\)

\(\Rightarrow P=x_1.x_2=\dfrac{5\pi^2}{9}\)

2.

\(pt\Leftrightarrow\left(cos3x-m+2\right)\left(2cos3x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos3x=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\cos3x=m-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\)

Ta có: \(x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left(2\right)\) có nghiệm duy nhất thuộc \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m-2=1\\m-2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(m=2\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: \(m=3\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=0\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow m=3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH3: \(m=1\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{3}\\x=-1\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy \(m=2;m=3\)

3.

\(2sin^2\dfrac{x}{4}-3cos\dfrac{x}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2\dfrac{x}{4}+3cos\dfrac{x}{4}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos\dfrac{x}{4}=\dfrac{1}{2}\\cos\dfrac{x}{4}=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{4\pi}{3}+k8\pi\in\left[0;8\pi\right]\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{4\pi}{3}\\x=\dfrac{20\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{20\pi}{3}=8\pi\)

\(\Leftrightarrow\left(cosx+1\right)\left(4cos2x-m.cosx\right)=m\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow4cos2x-m.cosx=m\left(1-cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow4cos2x=m\)

\(\Rightarrow cos2x=\dfrac{m}{4}\)

Pt có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn đã cho khi và chỉ khi:

\(-1< \dfrac{m}{4}\le-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow-4< m\le-2\)

Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn

a) Pt\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2xcos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)+3sinx.cosx-\dfrac{m}{4}+2=0\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{3}{4}sin^22x-\dfrac{3}{2}sin2x-\dfrac{m}{4}+2=0\)

\(\Leftrightarrow-3sin^22x-6sin2x-m+12=0\)

Đặt \(t=sin2x;t\in\left[-1;1\right]\)

Pttt: \(-3t^2-6t-m+12=0\)

\(\Leftrightarrow-3t^2-6t+12=m\) (1)

Đặt \(f\left(t\right)=-3t^2-6t+12;t\in\left[-1;1\right]\) 

Vẽ BBT sẽ tìm được \(f\left(t\right)_{min}=3;f\left(t\right)_{max}=15\)\(\Leftrightarrow3\le f\left(t\right)\le15\)\(\Rightarrow m\in\left[3;15\right]\) thì pt (1) sẽ có nghiệm

mà \(m\in Z\) nên tổng m nguyên để pt có nghiệm là 13 m

Vậy có tổng 13 m nguyên

b) Pt\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\left(1\right)\\2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\left(k\in Z\right)\)

\(x\in\left[0;2\pi\right]\Rightarrow0\le\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\le2\pi\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}\le k\le\dfrac{3}{4}\)\(\Rightarrow k=0\)

Tại k=0\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\)

Để pt ban đầu có 4 nghiệm pb \(\in\left[0;2\pi\right]\)

\(\Leftrightarrow\) Pt (2) có 3 nghiệm pb khác \(\dfrac{\pi}{2}\)

Xét pt (2) có: \(2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\)

Vì là phương trình bậc hai ẩn \(cosx\) nên pt (2) chỉ có nhiều nhất ba nghiệm \(\Leftrightarrow\) Pt (2) có một nghiệm cosx=0

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) mà \(x\ne\dfrac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow\) Pt (2) chỉ có nhiều nhất hai nghiệm

\(\Rightarrow\) Pt ban đầu không thể có 4 nghiệm phân biệt

Vậy \(m\in\varnothing\) 

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\7^x\ge m\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}4log_2^2x+log_2x-5=0\\7^x-m=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=2^{-\dfrac{5}{4}}\\7^x=m\end{matrix}\right.\) 

Với \(m\le0\) thì pt đã cho luôn có đúng 2 nghiệm

Vậy không cần xét tiếp, hiển nhiên là có vô số giá trị thực của m rồi?