Gọi P và Q lần lượt là trung điểm AB và CD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MP}\\\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}\end{matrix}\right.\)

\(\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}\right|=\left|\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{DM}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{MP}\right|=\left|2\overrightarrow{MQ}\right|\)

\(\Leftrightarrow MP=MQ\)

Tập hợp M là đường trung trực của đoạn PQ

A

A

A

a) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = 4\overrightarrow {MO} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  = 4\overrightarrow {MO} \) (luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Suy ra \(\)\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AC} \) (đpcm)

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AC}\)

\(\Leftrightarrow4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{AO}\)

\(\Leftrightarrow4\overrightarrow{MO}=2\overrightarrow{OA}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AO}\)

\(\Rightarrow M\) là trung điểm OA

C

Chọn B

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  =  - \overrightarrow {MA} ,\;\overrightarrow {DM}  =  - \overrightarrow {MD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB} \)

Tương tự ta có: \(\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {DC} \)

Mà \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)(do ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} \) (đpcm)

Gọi N là trung điểm BC

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\)

\(\Leftrightarrow4\left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{BD}\right|=4\left|\overrightarrow{MN}\right|=4\left|\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{MD}\right|\ge4MD-4DN\)

\(\Rightarrow4MD\le BD+4DN\)

\(\Leftrightarrow MD\le\dfrac{BD+4DN}{4}=\dfrac{a\sqrt{2}+2a\sqrt{5}}{4}=\dfrac{2\sqrt{5}+\sqrt{2}}{4}a\)

Bài 1:

Gọi K là trung điểm của BC

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔCAB có

O,K lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>OK là đường trung bình

=>OK//AB và \(OK=\dfrac{AB}{2}\)

=>\(\overrightarrow{OK}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)

Xét ΔOBC có OK là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

=>M trùng với B

Bài 2:

Xét ΔABC có

M,P lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MP là đường trung bình của ΔABC

=>MP//BC và MP=BC/2

=>MP=CN

mà MP//NC

nên MPCN là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}\)

=>\(\overrightarrow{MP}=-\overrightarrow{CN}\)

=>\(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)

mà \(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)

nên K trùng với P

Cách 1:

Do ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow  - \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  =  - \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \end{array}\)

Cách 2:

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC} \) (*)

Áp dụng quy tắc hiệu ta có: \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {BA} ;\;\;\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {CD} \)

Do đó (*) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \) (luôn đúng do ABCD là hình bình hành)

Cách 3:

Ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  + \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC} } \right)\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)\( \Rightarrow  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {DC} \) hay \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \) (đpcm)