Chọn C

Ta có:  α ∩ ( S C D ) = M N   ⇒ M N / / C D .

Do đó  α  là (ABMN).

Mặt phẳng  α  chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau là

V S . A B M N = V A B C D M N ⇒ V S . A B M N = 1 2 . V S . A B C D               1  

Ta có:

V S . A B C = V S . A C D = 1 2 V S . A B C D

Đặt  S N S D = x với (0<x<1), khi đó theo Ta-let ta có  S N S D = S M S C = x .

Mặt khác 

V S . A B M V S . A B C = S A S A . S B S B . S M S C = x   ⇒ V S . A B M = x 2 V S . A B C D

V S . A M N V S . A C D = S A S A . S M S C . S N S D = x 2   ⇒ V S . A M N = x 2 2 V S . A B C D

⇒ V S . A B M N = V S . A B M + V S . A M N = ( x 2 + x 2 2 ) . V S . A B C D   2

Từ (1), (2) suy ra

x 2 + x 2 2 = 1 2 ⇔ x 2 + x - 1 = 0

x = - 1 - 5 2   v à   x = - 1 + 5 2

Đối chiếu điều kiện của x ta được  S N S D = - 1 + 5 2

Đáp án là C

Vẫn dùng kĩ thuật cũ:

\(\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SD}-2\overrightarrow{BS}-2\overrightarrow{SC}=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SB}-2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}\) (1)

Đặt \(\overrightarrow{SC}=x.\overrightarrow{SN}\)

Giả thiết suy ra \(\overrightarrow{SD}=3\overrightarrow{SM}\)

Thế vào (1): \(\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SB}-2x.\overrightarrow{SN}+3\overrightarrow{SM}\)

Do A, B, N, M đồng phẳng

\(\Rightarrow2-2x+3=1\)

\(\Rightarrow x=2\Rightarrow SC=2SN\Rightarrow SN=\dfrac{1}{2}SC\)

Đáp án B

Ta có: V S . M N P V S . A B C = 2 V S . M N P V S . A B C = S M S A . S N S B . S P S C = 1 3 . S P S C  

Tương tự V S . M P Q V S . A C D = 2 V S . M P Q V S . A B C D = 1 2 . S P S C . S Q S D  

Do đó  2 V S . M N P Q V S . A B C D = 1 3 S P S C + 1 2 . S P S C . S Q S D

Đặt S P S C = x 0 < x ≤ 1 , ta chứng minh được  S A S M + S C S P = S B S N + S D S Q = 2 S O S I

Do đó S D S Q = 1 x + 1 2 ⇒ 2 k = x 1 3 + x x + 2 = 2 3  

Do 0 < x ≤ 1 nên  2 k m ax = f 1 = 2 3 ⇒ k = 1 3 .

Đáp án D

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, nối  S O ∩ A M = I

Qua I kẻ đương thẳng d, song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại H, K suy ra S H S B = S K S D = S I S O .  

Điểm M ∈ S C thỏa mãn  5 S M = 2 S C ⇒ S M S C = 2 5

Xét tam giác SAC, có:

M S M C . A C A O . I O I   S = 1 ⇒ I O S I = 4 3 ⇒ S I S O = 3 7

Khi đó:

V S . A K M V S . A D C = S K S D . S M S C ; V S . A H M V S . A B C = S H S B . S M S C  

Suy ra:

V S . A H M K V S . A B C D = S M S C . S H S B = 2 5 . 3 7 = 6 35 ⇒ V S . A H M K = 6 36 V S . A B C D

Đáp án D