\(P\left(x\right)=x^{2017}+x^2+1\)

\(=\left(x^{2017}-x\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x\left(x^{2016}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x\left[\left(x^3\right)^{2016}-1\right]+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x\left(x^3-1\right)A+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)A+\left(x^2+x+1\right)\)

\(A=\left(x^2+x+1\right)\left[x\left(x-1\right)A+1\right]⋮x^2+x+1\) (đpcm)

\(\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\dfrac{x^{10}+x^5+x^3}{x^2+x+1}\)

\(=\dfrac{x^{10}+x^9+x^8-x^9-x^8-x^7+x^7+x^6+x^5-x^6+x^3}{x^2+x+1}\)

\(=x^8-x^7+x^5-\dfrac{x^3\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}\)

=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3

\(x^3=x^3-1+1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+1\)

\(\Rightarrow x^3\equiv1\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\) 

Và \(xQ\left(x^3\right)\equiv xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x^3\right)+xQ\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)+xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)  với mọi x nguyên

\(\Rightarrow P\left(1\right)+x.Q\left(1\right)\) chia hết \(x^2+x+1\) với mọi x nguyên

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(P\left(1\right)=Q\left(1\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)\) có nghiệm \(x=1\) hay \(P\left(x\right)\) chia hết cho \(x-1\)

Câu 1:

Do P(x) bậc 3 và \(x^2-x+1\) bậc 2 nên đa thức thương có bậc 1, gọi đa thức thương có dạng \(ax+b\)

Do \(P\left(x\right)\) chia hết \(x-1\) và \(x-2\) nên \(P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\)

Do \(P\left(x\right)\) chia \(x^2-x+1\) dư \(2x-3\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(ax+b\right).\left(x^2-x+1\right)+2x-3\)

Thay \(x=1\) ta được:

\(P\left(1\right)=\left(a+b\right)\left(1-1+1\right)+2-3=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=1\)

Thay \(x=2\) ta được:

\(P\left(2\right)=\left(2a+b\right)\left(4-2+1\right)+4-3=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(2a+b\right)=-1\Leftrightarrow6a+3b=-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\6a+3b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{4}{3}\\b=-\frac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}\right)\left(x^2-x+1\right)+2x-3\)

Bạn có thể nhân phá ra và rút gọn

Câu 2:

Ta có:

\(P\left(x\right)=x^{100}+x^2+1\)

\(=x^{100}-x^{99}+x^{98}+x^{99}-x^{98}+x^{97}+...+x^3-x^2+x^2+x^2-x+1\)

\(=x^{98}\left(x^2-x+1\right)+x^{97}\left(x^2-x+1\right)+...+\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\left(x^{98}+x^{97}+...+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

\(=Q\left(x\right).\left(x^{98}+x^{97}+...+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\)

Ta thực hiện : Phân tích đa thức thành nhân tử để xuất hiện đa thức chia :

Ta có : \(x^8+x+1\)

\(=\left(x^8-x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x^2\left(x^6-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x^2\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x^2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x^3+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left[x^2\left(x-1\right)\left(x^3+1\right)+1\right]\)

Đến đây chỉ ra nó chia hết cho \(x^2+x+1\) rất dễ dàng.

Tổng số hạng của đa thức bị chia là: 48 số hạng.

Tổng số hạng của đa thức chia là: 16 số hạng.

Nhóm 16 số hạng liên tiếp với nhau ta được 3 nhóm:

(x⁴⁷+x⁴⁶+x⁴⁵+....+x³⁴+x³³)+(x³²+x³¹+x³⁰+...+x¹⁷+x¹⁶)+(x¹⁵+x¹⁴+x¹³+...+x²+x+1)= x³³(x¹⁵+x¹⁴+x¹³+...+x²+x+1)+x¹⁶(x¹⁵+x¹⁴+x¹³+...+x²+x+1)+(x¹⁵+x¹⁴+x¹³+...+x²+x+1) = (x¹⁵+x¹⁴+x¹³+...+x²+x+1)(x³³+x¹⁶+1) chia hết cho x¹⁵+x¹⁴+x¹³+...+x²+x+1

=> x⁴⁷+x⁴⁶+x⁴⁵+....+x³⁴+x³³)+(x³²+x³¹+x³⁰+...+x¹⁷+x¹⁶ chia hết cho x¹⁵+x¹⁴+x¹³+...+x²+x+1

a, P(x) = 0 

<=> 1+x+x^2+x^3+......+x^100+x^101 = 0

<=> (1+x)+(x^2+x^3)+......+(x^100+x^101) = 0

<=> (1+x)+x^2.(1+x)+......+x^100.(1+x) = 0

<=> (x+1).(1+x^2+.....+x^100) = 0

<=> x+1 = 0 ( vì 1+x^2+.....+x^100 > 0 )

<=> x=-1

Vậy ............

b, Có : P(3) = 1+3+3^2+3^3 = 40 chia hết cho 10

Tk mk nha