cho hình chữ nhật ABCD có AD=6cm, CD=8cm, đường thẳng kẻ từ D vuông góc với ACtaji E cắt AB tại F.tính DE,DF,AE,CE,À,BF
Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm, CD = 8cm. Từ D kẻ đường vuông góc với AC tại E cắt AB tại F. Tính độ dài các đoạn thẳng DE, DF, AE, AF, BF, CE
Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ADC$:
$\frac{1}{DE^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{DC^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}$
$\Rightarrow DE=4,8$ (cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tgv với tam giác $ADF$:
$AD^2=DE.DF$
$6^2=4,8.DF\Rightarrow DF=7,5$ (cm)
$EF=DF-DE=7,5-4,8=2,7$ (cm)
Tiếp tục áp dụng hệ thức lượng trong tgv $ADF$:
$AE^2=DE.DF=4,8.2,7=12,96\Rightarrow AE=3,6$ (cm)
$AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{3,6^2+2,7^2}=4,5$ (cm) theo định lý Pitago
$BF=AB-AF=CD-AF=8-4,5=3,5$ (cm)
Áp dụng htl trong tgv với tam giác $ADC$:
$DE^2=AE.CE$
$4,8^2=3,6.CE\Rightarrow CE=6,4$ (cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔADC vuông tại D, ta được:
\(\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{DA^2}+\dfrac{1}{DC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{100}{2304}\)
hay DE=4,8(cm)
Cho HCN ABCD có cạnh AD=6cm,CD=8cm.Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với AC tại E cắt cạnh AB tại F.Tính độ dài đoạn thẳng DE,AE,CE,AF,BF
Cho hình chữ nhật ABCD có AD=6cm, CD=8cm. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại E và cắt AB tại F. Tính độ dài BF?
Xét ΔADC vuông tại D có DE là đường cao ứng với cạnh huyền AC nên ta có:
\(\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{DC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{25}{576}\)
\(\Leftrightarrow DE^2=23.04\)
hay DE=4,8(cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAFD vuông tại A có AE là đường cao ứng với cạnh huyền DF, ta được:
\(DA^2=DE\cdot DF\)
\(\Leftrightarrow DF=\dfrac{6^2}{4.8}=7,5\left(cm\right)\)
Ta có: DE+EF=DF(E nằm giữa D và F)
nên EF=DF-DE=7,5-4,8=2,7(cm)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔADE vuông tại E, ta được:
\(AD^2=AE^2+DE^2\)
\(\Leftrightarrow AE^2=6^2-4.8^2=12.96\)
hay AE=3,6(cm)
Xét ΔAEF vuông tại E và ΔABC vuông tại B có
\(\widehat{BAC}\) chung
Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AF=\dfrac{AE\cdot AC}{AB}=\dfrac{3.6\cdot8}{6}=4.8\left(cm\right)\)
Ta có: AF+FB=AB(F nằm giữa A và B)
nên BF=AB-AF=8-4,8=3,2(cm)
Bài 1. Cho hình thang ABCD cân (AB // CD, AB < CD), kẻ AE vuông góc CD tại E, BF vuông góc CD tại F. Chứng minh rằng: a) DE = CF, DF = CE b) Chứng minh tứ giác ABFE là hình chữ nhật, từ đó suy ra AF = BE.
a: Xét ΔAED vuông tại E và ΔBFC vuông tại F có
AD=BC
\(\widehat{D}=\widehat{C}\)
Do đó: ΔAED=ΔBFC
Suy ra: DE=FC
Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm,AB = 8cm và 2 đường chéo cắt nhau tại O . Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với DB , d cắt tia BC tại E .
a) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác DCE
b) Kẻ CH vuông góc với DE tại H . Chứng minh DC^2 = CH.DB
c) Gọi K là giao điểm của OE và HC . Chứng minh K là trung điểm của HC và tính tỉ số S tam giác EHC phần S tam giác EDB
d) Chứng minh 3 đường thẳng OE,DC,BH đồng quy
a: Xét ΔBDE vuông tại D và ΔDCE vuông tại C có
góc E chung
=>ΔBDE đồng dạng với ΔDCE
b: Xét ΔHCD vuông tại H và ΔCDB vuông tại C có
góc HCD=góc CDB
=>ΔHCD đồng dạng với ΔCDB
=>HC/CD=CD/DB
=>CD^2=HC*DB
cho hình chữ nhật abcd có ad=6, cd=8. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại E, cắt AB tại F. tính BF
Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm; AB = 8cm; hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt tia BC tại E.
a) Chứng minh rằng: ΔBDE đồng dạng với ΔDCE
b) Kẻ CH ⊥ DE tại H. Chứng minh rằng: DC2 = CH.DB
c) Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC và tính tỉ số diện tích của ΔEHC và diện tích của ΔEDB
a/ Xét 2 tg vuông BDE và tg vuông DCE có
\(\widehat{DEB}\) chung
\(\widehat{DBE}=\widehat{CDE}\) (cùng phụ với \(\widehat{DEB}\) )
=> tg BDE đồng dạng với tg DCE (g.g.g)
b/ Xét tg vuông DCE có
\(DC^2=DH.DE\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
Xét tg vuông DHC và tg vuông BDE có
\(\widehat{DCH}=\widehat{DEB}\) (cùng phụ với \(\widehat{CDE}\) )
=> tg DHC đồng dạng với tg BDE
\(\Rightarrow\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{CH}{DE}\Rightarrow DH.DE=CH.DB\)
\(\Rightarrow DC^2=CH.DB\)
c/
Ta có
\(BD\perp DE;CH\perp DE\) => CH//BD (cùng vuông góc với DE)
\(\Rightarrow\dfrac{KH}{OD}=\dfrac{KC}{OB}\) (talet) \(\Rightarrow\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{OD}{OB}\)
Mà OD=OB (trong HCN hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
\(\Rightarrow\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{OD}{OB}=1\Rightarrow KH=KC\) => K là trung điểm của HC
Xét tg vuông BCD có
\(DB=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10cm\)
Ta có
\(DC^2=CH.DB\Rightarrow CH=\dfrac{DC^2}{DB}=\dfrac{8^2}{10}=6,4cm\)
\(\dfrac{S_{EHC}}{S_{EDB}}=\dfrac{\dfrac{EH.CH}{2}}{\dfrac{ED.DB}{2}}=\dfrac{EH.CH}{ED.DB}=k\)
Ta có
CH//DB (cmt)\(\Rightarrow\dfrac{EH}{ED}=\dfrac{CH}{DB}\)
\(\Rightarrow k=\left(\dfrac{CH}{DB}\right)^2=\left(\dfrac{6,4}{10}\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\)
Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh BC =6cm,AB =8cm. Đường thẳng kẻ từ B vuông góc với AC tại E , cắt cạnh AD tại F
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC,AE,BE
b)Tính độ dài các cạnh và diện tích tam giác ABF
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10\left(cm\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC với đường cao BE:
\(AB^2=AE.AC\Rightarrow AE=\dfrac{AB^2}{AC}=6,4\left(cm\right)\)
\(AB.AC=BE.AC\Rightarrow AE=\dfrac{AB.AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\)
b.
Ta có: \(EC=AC-AE=3,6\left(cm\right)\)
Do AB song song CF, theo định lý Talet:
\(\dfrac{CF}{AB}=\dfrac{CE}{AE}\Rightarrow CF=\dfrac{AB.CE}{AE}=4,5\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow DF=DC-CF=8-4,5=3,5\left(cm\right)\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADF:
\(AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\dfrac{\sqrt{193}}{2}\left(cm\right)\)
Pitago tam giác vuông BCF:
\(BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=7,5\left(cm\right)\)
Kẻ FH vuông góc AB \(\Rightarrow ADFH\) là hình chữ nhật (tứ giác 3 góc vuông)
\(\Rightarrow FH=AD=6\left(cm\right)\)
\(S_{ABF}=\dfrac{1}{2}FH.AB=\dfrac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB-6cm, AC -8cm, AD là tia phân giác của BAC (DEBC). b) Từ D kẻ DE vuông góc với AB tại E (E thuộc AB). Tính đo dài DE, AE và diện tích tứ giác AEDC; c) Gọi O là giao điểm của AD và CE. Qua O kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC và AB lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng OM=ON.