p=a^2+b^2 (1)

p là số nguyên tố, p-5 chia hết 8 => p lẻ >=13  và a,b có 1 chẵn 1 lẻ

A=a.x^2-b.y^2 chia hết cho p, nên có thể viết  A = p(c.x^2 -d.y^2) với c,d phải nguyên

và c.p = a và d.p = b

thay (1) vào ta thấy c=a/(a^2+b^2) cần nguyên là vô lý vậy A muốn chia hết cho p <=> x và y cùng là bội số của p 

Đặt \(p=8k+5\left(đk:K\in N\right)\)

Vì: \(\left(ax^2\right)^{4k+2}-\left(by^2\right)^{4k+2}⋮\left(ax^2-by^2\right)\)

\(\Rightarrow a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}⋮p\)

Mà \(a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}\)\(=\left(a^{4k+2}+b^{4k+2}\right).x^{8k+4}-b^{4k+2}\)\(\left(x^{8k+4}+y^{8k+4}\right)\)

Ta lại có: \(a^{4k+2}+b^{4k+2}=\left(a^2\right)^{2k+1}+\left(b^2\right)^{2k+1}⋮p\) ; p<d nên \(x^{8k+4}+y^{8k+4}⋮p\)

Làm tiếp đi 

IQ vô cực

a.

Giả sử trong hai số x,y có một số chẵn; vai trò x,y như nhau; không mất tính tổng quát giả sử x chẵn ta có \(\left(xy\right)⋮2\)

Mà \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮xy\)  nên \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮2\Rightarrow y^2⋮2\Rightarrow y⋮2\)

Ta có \(xy⋮4\)

Do đó \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮4\).

Mà \(x^2⋮4,y^2⋮4\)  nên \(10⋮4\)  (Điều này vô lý)

=> Giả sử trên là sai. Vậy x,y là hai số lẻ.

Đặt \(d=ƯCLN\left(x,y\right)\)

Ta có: \(x=da,b=db\) với a, b, d \(\in N\)* và \(ƯCLN\left(a,b\right)=1\)

Có: \(\left(d^2a^2+d^2b^2+10\right)⋮\left(d^2ab\right)\Rightarrow\left(d^2a^2+d^2b^2+10\right)⋮d^2\Rightarrow10⋮d^2\Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(x,y\right)=1\)

b. Theo đề suy ra \(kxy=x^2+y^2+10\)

Vì x,y là số lẻ nên \(\left(x+1\right)\left(x-1\right)⋮4;\left(y+1\right)\left(y-1\right)⋮4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-1\right)⋮4\\\left(y^2-1\right)⋮4\end{matrix}\right.\)

Có: \(x^2+y^2+10=x^2-1+y^2-1+12\) chia hết cho 4 nên \(kxy⋮4\)

Mà ƯCLN \(\left(xy,4\right)=1\Rightarrow k⋮4\)

Giả sử trong 2 số x,y có một số chia hết cho 3; vai trò của x, y là như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(x⋮3\) . Ta có \(\left(xy\right)⋮3\)

Mà \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮\left(xy\right)\)

Nên \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮3\)  \(\Rightarrow\left(y^2+10\right)⋮3\Rightarrow\left(y^2+1\right)⋮3\Rightarrow\) \(y^2\) chia cho 3 dư 2 (Điều này vô lý)

=> Giả sử trên là sai. Vậy x,y là hai số không chia hết cho 3.

\(\RightarrowƯCLN\left(xy,3\right)=1\), \(x^2\) và \(y^2\) chia cho 3 dư 1.

Do đó \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮3\)  nên \(kxy⋮3\)  mà \(ƯCLN\left(xy,3\right)=1\Rightarrow k⋮3,k⋮4\)

\(ƯCLN\left(3,4\right)=1.3.4=12\Rightarrow k⋮12\)

Mà \(k\in N\)* nên \(k\ge12\)

\(\left(x-y\right)^2+2xy⋮4\)

\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2xy⋮4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2⋮4\)

\(\Rightarrow x^2⋮4;y^2⋮4\)

mà \(4⋮2\)

\(\Rightarrow x^2⋮2;y^2⋮2\Rightarrow x⋮2;y⋮2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

 Bài làm của bạn Trí từ chỗ \(x^2+y^2⋮4\Rightarrow x^2,y^2⋮4\) thì bạn còn phải xét thêm trường hợp \(x,y\) cùng lẻ nữa. Vì số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y\) lẻ thì \(x^2+y^2\) chia 4 dư 2, không thỏa mãn. Vậy mới suy ra được \(x^2,y^2⋮4\). Còn lại bạn đúng hết rồi.

x^2 = -y^2 mod p,tức (-1/p) =1 tức p=1 mod 4

Hoặc cả 2 x,y cùng chia hết cho p

\(x=5k+2;y=5a+2\)

\(4x+y=20k+8+5a+2=20k+5a+10\)

\(=5\left(4k+a+2\right)⋮5\)