CMR: \(\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2-\left(a+b\right)\left(b+c\right)-\left(b+c\right)\left(c+a\right)-\left(a+b\right)\left(c+a\right)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

Bài này mk cần một cách làm sử dụng hằng đẳng thức hoặc một cách làm thông minh chứ không phải là phân tích hết ra từng cái vd (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 r cộng lại. Có cho phép sử dụng phân tích nhưng không phải là kiểu phân tích từ đầu tức là phân tích từng cái như mình đã nói ở trên

AI GIẢI ĐƯỢC MK SẼ TÍCH CHO 3 TÍCH. CẢM ƠN RẤT NHIỀU 

\(\dfrac{1}{\left(1+a^2\right)}+\dfrac{1}{\left(1+b^2\right)}\ge\dfrac{2}{\left(1+ab\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)+\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow1+b^2+ab+ab^3+1+a^2+ab+a^3b-2\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Điều này hiển nhiên đúng do ab \(\ge\) 1, (a-b)² \(\ge\) 0

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Anh để ý trên mục Toán lớp 8 có một câu hỏi được nhiều người đăng cùng lúc, nên anh xin trả lời câu hỏi đó.

Đề: Cho \(1\le a,b,c\le3\) và \(a+b+c=6\) . Tìm \(max\) của biểu thức \(f\left(a,b,c\right)=a^2+b^2+c^2\).

Trong đó kí hiệu \(f\left(x,y,z\right)\) là đa thức khi thay \(a=x,b=y,c=z\), tức là \(f\left(x,y,z\right)=x^2+y^2+z^2\).

-----

Nhận xét: Trong 3 số \(a,b,c\) phải có số lớn hơn bằng 2. Không mất tính tổng quát gọi số đó là \(a\).

Khi đó \(b+c-1\le5-a=3\)

Ta có \(f\left(a,b,c\right)=a^2+b^2+c^2\) và \(f\left(a,b+c-1,1\right)=a^2+\left(b+c-1\right)^2+1\).

Ta sẽ CM \(f\left(a,b,c\right)\le f\left(a,b+c-1,1\right)\).

Biến đổi tương đương ta được \(b^2+c^2\le b^2+c^2+2bc-2b-2c+2\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\).

Điều này đúng. Vậy \(f\left(a,b,c\right)\le f\left(a,b+c-1,1\right)\).

Nhận thấy do \(a+b+c=6\) nên \(f\left(a,b+c-1,1\right)=f\left(a,5-a,1\right)=a^2+\left(5-a\right)^2+1=2\left(a^2-5a+13\right)\).

Ta sẽ tìm max của biểu thức này. Giá trị max đó là \(14\), xảy ra khi \(a=2\)

Vậy \(f\left(a,b,c\right)\le14\). Đẳng thức xảy ra tại \(a=2,b=3,c=1\).

------

Ý tưởng tương tự trên sẽ giúp các em làm được bài toán sau:

Cho \(0\le a,b,c\le2\) thoả \(a+b+c=3\). Tìm min của biểu thức \(ab+bc+ca\).