\(A=n^3-2n^2+2n-4\)

\(=n^2\left(n-2\right)+2\left(n-2\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n^2+2\right)\)

Để A là số nguyên tố thì \(n-2=1\left(h\right)n^2+2=1\)

Mà \(n^2\ge0\Rightarrow n^2+2\ge2>1\Rightarrow n-2=1\Rightarrow n=3\)

Thay vào A ta được A=11 ( LSNT )

Vậy n=3

cảm ơn bạn nhiều

Bài 1:
Ta có dãy số 2, 4, 6, ..., 2n là một dãy số chẵn liên tiếp.
Ta có công thức tổng của dãy số chẵn liên tiếp là: S = (a1 + an) * n / 2
Với a1 là số đầu tiên của dãy, an là số cuối cùng của dãy, n là số phần tử của dãy.
Áp dụng công thức trên vào bài toán, ta có:
(2 + 2n) * n / 2 = 756
(2n + 2) * n = 1512
2n^2 + 2n = 1512
2n^2 + 2n - 1512 = 0
Giải phương trình trên, ta được n = 18 hoặc n = -19.
Vì n là số tự nhiên nên n = 18.
Vậy số tự nhiên n cần tìm là 18.

Bài 2:
Ta có p = (n - 2)(n^2 + n - 5)
Để p là số nguyên tố, ta có hai trường hợp:
1. n - 2 = 1 và n^2 + n - 5 = p
2. n - 2 = p và n^2 + n - 5 = 1
Xét trường hợp 1:
n - 2 = 1
=> n = 3
Thay n = 3 vào phương trình n^2 + n - 5 = p, ta có:
3^2 + 3 - 5 = p
9 + 3 - 5 = p
7 = p
Vậy n = 3 và p = 7 là một cặp số nguyên tố thỏa mãn.

Xét trường hợp 2:
n - 2 = p
=> n = p + 2
Thay n = p + 2 vào phương trình n^2 + n - 5 = 1, ta có:
(p + 2)^2 + (p + 2) - 5 = 1
p^2 + 4p + 4 + p + 2 - 5 = 1
p^2 + 5p + 1 = 1
p^2 + 5p = 0
p(p + 5) = 0
p = 0 hoặc p = -5
Vì p là số nguyên tố nên p không thể bằng 0 hoặc âm.
Vậy không có số tự nhiên n thỏa mãn trong trường hợp này.

Vậy số tự nhiên n cần tìm là 3.

Bài 1

...=((2n-2):2+1):2=756

(2(n-1):2+1)=756×2

n-1+1=1512

n=1512

Bài 2

\(\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\) là số nguyên tố khi n-2=1, suy ra n=3.

đặt 2n + 34 = a^2

34 = a^2-n^2

34=(a-n)(a+n)

a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)

=>     a-n        1        2 

         a+n        34      17

        Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ

      Vậy ....

Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.

=>  S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP

2: A=n^2+3n+2=(n+1)(n+2)

Để A là số nguyên tố thì n+1=1 hoặc n+2=2

=>n=0

Vì 7n+13 và 2n+4 nguyên tố cùng nhau nên ta gọi d = UCLN(7n+13,2n+4)

=>7n+13 ⋮ d và 2n+4 ⋮ d

Có 7n+13 ⋮ d => 2(7n+13) ⋮ d => 14n+26 ⋮ d

2n+4 ⋮ d => 7.(2n+14) ⋮ d => 14n+28 ⋮ d

Suy ra (14n+28) – (14n+26) ⋮ d => 2 ⋮ d => d ∈ {1;2}

Nếu d = 1 thì 7n+13 và 2n+4 là nguyên tố cùng nhau

Nếu d = 2 => 7n+13 ⋮ 2 => 7.(n+1)+6 ⋮ 2 vì 6 ⋮ 2 nên 7.(n+1) ⋮ 2 mà UC(7,2) = 1 => n+1 ⋮ 2

Để n+1 ⋮ 2 thì n = 2k+1

Vậy để 7n+13 và 2n+4 là số nguyên tố cùng nhau thì n ≠ 2k+1

Olm sẽ hướng dẫn em giải những dạng toán nâng cao như này bằng phương pháp đánh giá em nhé.

Nếu n = 2 ta có: 2 + 2 = 4 ( loại)

Nếu n = 3 ta có:  2n + 27 = 2.3 + 27 = 33  (loại)

Nếu n > 3 thì vì   n là số nguyên tố nên n có dạng:

                           n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2

Với n = 3k + 1 ta có: n + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 ⋮ 3 (loại)

Với n = 3k + 2 ta có: n + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 =3.(k+4)⋮3 (loại)

Không có số tự nhiên nào thỏa mãn n+2; n+10; 2n+27 đồng thời là số nguyên tố.

Kết luận: n \(\in\) \(\varnothing\) 

Gọi ƯC(7n+13,2n+4)=d

Ta có: 7n+13 chia hết cho d=>2.(7n+13) chia hết cho d=>14n+26 chia hết cho d

          2n+4 chia hết cho d=>7.(2n+4) chia hết cho d=>14n+28 chia hết cho d

=>14n+28-(14n+26) chia hết cho d

=>2 chia hết cho d

=>d=Ư(2)={1,2}

Để 7n+13 và 2n+4 à số nguyên tố cùng nhau

=>ƯC(7n+13,2n+4)=1

=>d=1

=>d khác 2

=>7n+13 không chia hết cho 2

mà 13 không chia hết cho 2

=>7n chia hết cho 2

Vì (2,7)=1

=>n chia hết cho 2

=>n=2k

Vậy n=2k

Gọi ƯC(4n+3,2n+3)=d

Ta có: 4n+3 chia hết cho d

          2n+3 chia hết cho d=>2.(2n+3) chia hết cho d=>4n+6 chia hết cho d

=>4n+6-(4n+3) chia hết cho d

=>4n+6-4n-3 chia hết cho d

=>3 chia hết cho d

=>d=Ư(3)={1,3}

Để 4n+3 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=>ƯC(4n+3,2n+3)=1

=>d=1

=>d khác 3

=>2n+3 không chia hết cho 3

=>2n+3-3 không chia hết cho 3

=>2n không chia hết cho 3

mà (2,3)=1

=>n không chia hết cho 3

=>n khác 3k

Vậy n khác 3k thì (4n+3,2n+3)=1

ta nhân 2n+3 với 2 thì sẽ ra 4n+6.

rồi lấy 4n+6-4n+3=3

Mà ước của 3 gồm 1,3