TH1: \(m=3\Rightarrow f\left(x\right)=-5< 0\) với mọi x(ktm)

TH2: \(m>3\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[3;4\right]}f\left(x\right)=f\left(3\right)=3\left(m-3\right)-2m+1=m-8\)

\(m-8>0\Rightarrow m>8\)

TH3: \(m< 3\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến trên R

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[3;4\right]}=f\left(4\right)=4\left(m-3\right)-2m+1=2m-11\)

\(2m-11>0\Rightarrow m>\dfrac{11}{2}\) (ktm điều kiện \(m< 3\))

Kết hợp lại ta được \(m>8\)

câu a 

Gọi x₀ là nghiệm chung của PT(1) và (2)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2_0+\left(3m-1\right)x_0-3=0\left(\times3\right)\\6.x^2_0-\left(2m-1\right)x_0-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2_0+3\left(3m-1\right)x_0-9=0\left(1\right)\\6x^2_0-\left(2m-1\right)x_0-1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)  Lấy (1)-(2) ,ta được 

PT\(\Leftrightarrow3\left(3m-1\right)-9+\left(2m-1\right)+1\)=0

     \(\Leftrightarrow9m-3-9+2m-1+1=0\Leftrightarrow11m-12=0\)

      \(\Leftrightarrow m=\dfrac{12}{11}\)

Lời giải

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge m\left(1\right)\\\left(3x+2m\right)^2=\left(x-m\right)^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(2)\(\Leftrightarrow9x^2+12xm+4m^2=x^2-2mx+m^2\)

\(\Leftrightarrow8x^2+14mx+3m^2=0\)

\(\Delta'_x=49m^2-24m^2=25m^2\ge0\forall m\) => (2) luôn có nghiệm với mợi m

\(x=\dfrac{5\left|m\right|-7m}{8}\) (3)

so sánh (3) với (1)

\(\dfrac{5\left|m\right|-7m}{8}\ge m\Leftrightarrow\left|m\right|\ge3m\)(4)

m <0 hiển nhiên đúng

xét khi m\(\ge\)0

\(\left(4\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m^2\ge9m^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m\le0\)\(\Leftrightarrow m=0\)

Biện luận

(I)với m <0 có hai nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-3m}{2}\\x_2=\dfrac{-m}{4}\end{matrix}\right.\)

(II) với m= 0 có nghiệm kép x=0

(III) m>0 vô nghiệm

b) \(\left|2x+m\right|=\left|x-2m+2\right|\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+m=x-2m+2\left(1\right)\\2x+m=-\left(x-2m+2\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1): \(2x+m=x-2m+2\Leftrightarrow x=-3m+2\).
Xét (2): \(2x+m=-\left(x-2m+2\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{m-2}{3}\)
Biện luận:
Với mọi m phương trình đều có hai nghiệm:
\(x=-3m+2;x=\dfrac{m-2}{3}\).

c) \(mx^2+\left(2m-1\right)x+m-2=0\)
- Với m = 0 phương trình trở thành:
\(0.x^2+\left(2.0-1\right)x+0-2=0\)\(\Leftrightarrow-x-2=0\)\(\Leftrightarrow x=-2\)
- Xét \(m\ne0\)
\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4m.\left(m-2\right)=4m+1\)
Nếu \(4m+1>0\Leftrightarrow m>\dfrac{-1}{4}\) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(2m-1\right)+\sqrt{4m+1}}{2m}\);
\(x_2=\dfrac{-\left(2m-1\right)-\sqrt{4m+1}}{2m}\)
Nếu \(4m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-1}{4}\) phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=\dfrac{-\left(2m-1\right)}{2m}=\dfrac{-\left(2.\dfrac{-1}{4}-1\right)}{2.\dfrac{-1}{4}}=-3\)
Nếu \(4m+1< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{-1}{4}\) phương trình vô nghiệm.
Biện luận:
\(m=0\) phương trình có một nghiệm là x = -2.
\(m\ge\dfrac{-1}{4}\) và \(m\ne0\) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(2m-1\right)+\sqrt{4m+1}}{2m}\); \(x_2=\dfrac{-\left(2m-1\right)-\sqrt{4m+1}}{2m}\)
\(m\le\dfrac{-1}{4}\) phương trình có nghiệm kép:\(x_1=x_2=3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{1}{4}\)

\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(mx^2+2m+\dfrac{1}{4}\right)=2m+\dfrac{1}{4}\)

Hàm liên tục tại x=0 khi: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)

\(\Leftrightarrow2m+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=0\)

ko biết làm