Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với AD và AC

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AE = AF

BE = BD

CD = CF

BD = BC + CD

BE = AB – AE

Suy ra: BD + BE = AB + BC – (AE + CD)

= AB + BC – (AE + CE)

= AB + BC – AC

Suy ra: BD = (AB + BC - AC)/2

Lại có: CD = BC – BD

CF = AC = AF

Suy ra: CD + CF = BC + AC – (BD + AF)

= BC + AC – (BE + AE)

= BC + AC – BA

Vậy S A B C  = BD.DC.

Pitago: \(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)=0\)

Gọi các tiếp điểm với AB và AC là E và F

Do đường tròn (I) nội tiếp tam giác, theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau:

\(BD=BE\) ; \(AE=AF\) ; \(CD=CF\)

Mà \(BD+CD=BC;AE+BE=AB;AF+CF=AC\)

\(\Rightarrow BC+AB-AC=BD+CD+AB+BE-AF-CF=BD+BE=2BD\)

\(\Rightarrow BD=\dfrac{BC+AB-AC}{2}\)

Tương tự: \(BC+AC-AB=2DC\Rightarrow DC=\dfrac{BC+AC-AB}{2}\)

\(\Rightarrow BD.DC=\dfrac{1}{4}\left(BC+AB-AC\right)\left(BC+AC-AB\right)=\dfrac{1}{4}\left[BC^2-\left(AB-AC\right)^2\right]\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)+2AB.AC\right)=\dfrac{1}{2}AB.AC=S_{ABC}\)

a) +) Ta có: IB, IK là 2 tiếp tuyến kẻ từ I

=> IO là tia phân giác \(\widehat{BIK}\)=->\(\widehat{BIO}=\frac{1}{2}\widehat{KIB}\)(1)

Tương tự: \(\widehat{IBO}=\frac{1}{2}\widehat{IBC}\)(2)

+) ND cùng vuông góc với IK và BC 

=> IK//BC

=> \(\widehat{KIB}+\widehat{IBC}=180^o\)(3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\widehat{IBO}+\widehat{BIO}=90^o\)=> \(\widehat{IBO}=90^o\)

+) Xét 2 tam giác vuông INO và ODB có:

\(\widehat{ION}=\widehat{OBD}\)( cùng phụ với góc BOD)

=> \(\Delta INO~\Delta ODB\)

=> \(\frac{IN}{OD}=\frac{ON}{BD}\)=> \(IN.BD=R^2\)( với R là bán kính đường tròn (O)) (4)

Tương tự ta cũng chứng minh được: \(NK.DC=R^2\)(5)

(4), (5)=> \(IN.BD=NK.DC\Rightarrow\frac{IN}{NK}=\frac{DC}{BD}\)(6)

b) IK//BC. Theo định lí Thaslet ta có:

\(\frac{IN}{BE}=\frac{NK}{EC}\left(=\frac{AN}{AE}\right)\Rightarrow\frac{IN}{NK}=\frac{BE}{EC}\)(7)

(6),(7)=> \(\frac{DC}{DB}=\frac{BE}{EC}\Rightarrow\frac{BC-BD}{DB}=\frac{BC-EC}{CE}\Rightarrow\frac{BC}{BD}-1=\frac{BC}{CE}-1\Rightarrow\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{CE}\Rightarrow BD=CE\)

Gọi E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn đã cho với các cạnh AB, AC. Đặt AE = AF = x. Ta có BD = BE, CF = CD. Từ đó ta có:

AB.AC = ( x + BD )( x + CD ) = x² + ( BD + DC )x + BD.CD (1)

Do ABC là tam giác vuông nên theo định lý Pytago, ta có:

AB² + AC² = BC² trở thành ( x + BD )^{2 +} ( x + CD )² = ( DB + DC )²  <=> ( x² + ( BD + DC )x) = BD.DC <=> ( x + BD )( x + CD ) = 2BD.CD (2).

Từ (1), (2) suy ra đpcm.

cho 1 hinh duoc tao bang nua hinh tron co  duong tron 2 dm va 1 hinh tam giac co duong cao 3dm,day2dm

lam on hay giup minh nhe! co giao minh sap kiem tra rui. cam on

Gọi M là trung điểm của BC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

AD ⊥ DB; AE ⊥ CE

Suy ra: BD // CE

Vậy tứ giác BDEC là hình thang

Khi đó MA là đường trung bình của hình thang BDEC

Suy ra: MA // BD ⇒ MA ⊥ DE

Trong tam giác vuông ABC ta có : MA = MB = MC

Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.