Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC tại D. Chứng minh rằng: S_{\(\Delta ABC\) =} BD.DC

Answer 1

Pitago: \(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)=0\)

Gọi các tiếp điểm với AB và AC là E và F

Do đường tròn (I) nội tiếp tam giác, theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau:

\(BD=BE\) ; \(AE=AF\) ; \(CD=CF\)

Mà \(BD+CD=BC;AE+BE=AB;AF+CF=AC\)

\(\Rightarrow BC+AB-AC=BD+CD+AB+BE-AF-CF=BD+BE=2BD\)

\(\Rightarrow BD=\dfrac{BC+AB-AC}{2}\)

Tương tự: \(BC+AC-AB=2DC\Rightarrow DC=\dfrac{BC+AC-AB}{2}\)

\(\Rightarrow BD.DC=\dfrac{1}{4}\left(BC+AB-AC\right)\left(BC+AC-AB\right)=\dfrac{1}{4}\left[BC^2-\left(AB-AC\right)^2\right]\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)+2AB.AC\right)=\dfrac{1}{2}AB.AC=S_{ABC}\)

Answer 2