Với \(a>b>c:\hept{\begin{cases}\frac{2a^2}{a-b}\ge\frac{2a^2-2b^2}{a-b}=\frac{2\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a-b}=2a-2b\\\frac{b^2}{b-c}\ge\frac{b^2-c^2}{b-c}=\frac{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{b-c}=b+c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{2a^2}{a-b}+\frac{b^2}{b-c}\ge2a+3b+c\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow b=c=0\)(Vô lí với \(b>c\))

Vậy \(\frac{2a^2}{a-b}+\frac{b^2}{b-c}>2a+3b+c\)

d ở đâu ra vậy?

a) Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{3b}{3d}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{3b}{3d}=\dfrac{2a-3b}{2c-3d}=\dfrac{2a+3b}{2c+3d}\) ( đpcm )

b) Ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\) ( đpcm ).

Theo đề bài ta có:
a/b=c/d=a/c=b/d
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a/c=b/d=2a/2c=3b/3d=2a+3b/2c+3d
=2a-3b/2c-3d
=>2a+3b/2c+3d=2a-3b/2c-3d=2a+3b/2a-3b=2c+3d/2c-3d (đpcm)
b) Theo đề bài ta có:
a/b=c/d=ab/b^2=cd/d^2=ab/cd=b^2/d^2 (*)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
a/b=c/d=a/c=b/d=a^2/c^2/b^2/d^2=a^2-b^2/c^2-d^2(**)
Từ (*) và(**) suy ra ab/cd=a^2-b^2/c^2-d^2 (đpcm)
(có thể trình bày theo cách khác)

Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và nên:

Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và nên:

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2a^2+3b^2\right)\left(a+b\right)}{2a^3+3b^3}+\frac{\left(2b^2+3a^2\right)\left(a+b\right)}{2b^3+3a^3}\le4\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^3+3b^3+2a^2b+3ab^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^3+3a^3+2ab^2+3ab^2}{2b^3+3a^3}\le4\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^2b+3ab^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2ab^2+3ab^2}{2b^3+3a^3}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(\frac{a}{b}\right)^2+3\left(\frac{a}{b}\right)}{2\left(\frac{a}{b}\right)^3+3}+\frac{2\left(\frac{a}{b}\right)+3\left(\frac{a}{b}\right)^2}{3\left(\frac{a}{b}\right)^3+2}\le2\)

Đặt \(\frac{a}{b}=x>0\Rightarrow\frac{2x^2+3x}{2x^3+3}+\frac{3x^2+2x}{3x^3+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(12x^4+12x^3-x^2+12x+12\right)\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\) hay \(a=b\)

Hơi trâu bò :D