Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Chí Lê Toàn Phùng

a,b là các số dương. CMR:

\(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\le\frac{4}{a+b}\)

Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 5 2020 lúc 0:58

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2a^2+3b^2\right)\left(a+b\right)}{2a^3+3b^3}+\frac{\left(2b^2+3a^2\right)\left(a+b\right)}{2b^3+3a^3}\le4\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^3+3b^3+2a^2b+3ab^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^3+3a^3+2ab^2+3ab^2}{2b^3+3a^3}\le4\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^2b+3ab^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2ab^2+3ab^2}{2b^3+3a^3}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(\frac{a}{b}\right)^2+3\left(\frac{a}{b}\right)}{2\left(\frac{a}{b}\right)^3+3}+\frac{2\left(\frac{a}{b}\right)+3\left(\frac{a}{b}\right)^2}{3\left(\frac{a}{b}\right)^3+2}\le2\)

Đặt \(\frac{a}{b}=x>0\Rightarrow\frac{2x^2+3x}{2x^3+3}+\frac{3x^2+2x}{3x^3+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(12x^4+12x^3-x^2+12x+12\right)\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\) hay \(a=b\)

Hơi trâu bò :D


Các câu hỏi tương tự
Anh Pha
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
HoàngThống Nguyễn
Xem chi tiết
Tuyển Trần Thị
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
Giang Phạm Gia
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết