Trước hết ta dùng quy tắc tổ hợp chứng minh điều này: \(\dfrac{\left(n^2\right)!}{\left(n!\right)^{n+1}}\) luôn luôn là 1 số nguyên dương 

Giả sử có \(n^2\) người, ta muốn chia họ vào n nhóm khác nhau, mỗi nhóm có đúng n người. Thứ tự của các nhóm và thứ tự mỗi người trong nhóm không quan trọng.

Xếp vị trí \(n^2\) người, có \(\left(n^2\right)!\) cách

Do trong các nhóm, vị trí mỗi người là không quan trọng nên mỗi nhóm bị lặp lại \(n!\) lần cách xếp (là hoán vị của n người trong nhóm). Như vậy, với n nhóm ta đã bị lặp lại: \(n!.n!...n!=\left(n!\right)^n\) lần xếp

Do vị trí của mỗi nhóm là không quan trọng, do đó khi xếp ta đã lặp lại thêm \(n!\) lần (là hoán vị của các nhóm với nhau)

Tổng cộng, ta đã lặp: \(\left(n!\right)^n.n!=\left(n!\right)^{n+1}\) lần xếp

Do đó, số cách xếp thực sự là: \(\dfrac{\left(n^2\right)!}{\left(n!\right)^{n+1}}\)

Số cách xếp vị trí hiển nhiên phải là 1 số nguyên dương, do đó, \(\dfrac{\left(n^2\right)!}{\left(n!\right)^{n+1}}\) cũng phải là 1 số nguyên dương

\(\Rightarrow\left(n^2\right)!=k.\left(n!\right)^{n+1}\) với k là số nguyên dương

Để \(\left(n!\right)^n⋮\left(n^2-1\right)!\Rightarrow\left(n!\right)^n=m.\left(n^2-1\right)!\) với m nguyên dương

\(\Rightarrow\left(n!\right)^n=m.\dfrac{\left(n^2\right)!}{n^2}=m.\dfrac{k.\left(n!\right)^{n+1}}{n^2}\)

\(\Rightarrow n!.k.m=n^2\)

\(\Rightarrow n=\left(n-1\right)!.k.m\ge\left(n-2\right)\left(n-1\right).k.m\ge\left(n-2\right)\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow n^2-4n+2\le0\)

\(\Rightarrow n\le2+\sqrt{2}\Rightarrow n=\left\{1;2;3\right\}\)

Thử lại chỉ có \(n=1\) thỏa mãn

Vậy \(n=1\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn yêu cầu

Em cx ms nghĩ được 1 phần thôi ạ ; em dùng LTE ạ k biết có đúng k ? 

Với mỗi số nguyên tố p và số nguyên dương q kí hiệu \(v_p\left(q\right)\) là số mũ đúng của p trong phân tích tiêu chuẩn ra thừa số nguyên tố của \(q!\)

C/m : n = 4 và n = p là số nguyên tố thì (n!)^n \(⋮̸\) \(\left(n^2-1\right)!\)

Thật vậy ; n = 4 thì \(v_2\left(4!\right)^4=4v_2\left(24\right)=12>11=v_2\left(4^2-1\right)!\)  

=>  (n!)^n \(⋮̸\) \(\left(n^2-1\right)!\) 

CMTT với n = p 

Tiếp theo ; ta c/m : n \(\ne4\) và \(n\ne p\) thì \(\left(n!\right)^n⋮\left(n^2-1\right)!\)

(Đoạn này e chưa ra) 

A) Vì 2013 là số lẻ nên (\(1^{2013}+2^{2013}\)+....\(n^{2013}\)): (1+2+...+n)

Hay( \(1^{2013}+2^{2013}\)+\(3^{2013}\)+......\(n^{2013}\)) :\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

=>2(\(1^{2013}+2^{2013}\)+\(3^{2013}\)+......\(n^{2013}\)):n(n+1)(đpcm)

B)

Do 1 lẻ , \(2q^2\) chẵn nên  lẻ

\(2q^2\)

 lẻ nên  và đều chẵn ⇒(p−1)(p+1)⋮4

⇒\(q^2\):2 =>q:2 =>q=2 

\(q^2\)

a, Vì 2013 là số lẻ nên (\(^{1^{2013}+2^{2013}+...n^{2013}}\))⋮(1+2+...+n)

=>\(\left(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013}\right)\)⋮\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

=>\(2\left(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2003}\right)\)⋮n(n+1)

đpcm

Xét \(C=3^{n+1}+4.2^{n-1}-81.3^{n-3}-8.2^{n-2}+1\)

\(=3^{n+1}+2^2.2^{n-1}-3^4.3^{n-3}-2^3.2^{n-2}+1\)

\(=3^{n+1}+2^{n+1}-3^{n+1}-2^{n+1}+1=1\)

Xét \(D=\left(2^n+1\right)^2+\left(2^n-1\right)^2-2\left(4^n+1\right)=2^{2n}+2.2^n+1+2^{2n}-2.2^n+1-2.4^n-2\)

\(=4^n+4^n-2.4^n=2.4^n-2.4^n=0\)

Vậy C > D

bạn nói dùm mình chỗ từ =\(3^{n+1}+2^2.2^{n-1}-3^4.3^{n-3}-2^3.2^{n-2}+1\) 

                                      =\(3^{n+1}+2^{n+1}-3^{n+1}-2^{n+1}+1=1\) 

Bạn áp dụng \(a^m+a^n=a^{m+n}\)

Làm thử theo cách cổ truyền vậy -.-

Ta có : \(n^2+n+1=\left(m^2+m-3\right)\left(m^2-m+5\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2+n+1=m^4+m^2+8m-15\)

\(\Leftrightarrow n^2+n+16-m^4-m^2-8m=0\)

Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn n

Ta có : \(\Delta=4m^4+4m^2+32m-63\)

Pt có nghiệm nguyên khi \(\Delta\)là 1 số chính phương

Ta có \(\Delta=4m^4+4m^2+32m-63=\left(2m^2+2\right)^2-4\left(m-4\right)^2-3< \left(2m^2+2\right)^2\)

Giả sử m > 2 thì\(\Delta=\left(2m^2+1\right)^2+32\left(m-2\right)>\left(2m^2+1\right)^2\forall m>2\)

Khi đó  \(\left(2m^2+1\right)^2< \Delta< \left(2m^2+2\right)^2\)

Như vậy \(\Delta\)không phải số chính phương (Vì giữa 2 số chính phương liên tiếp ko còn scp nào nữa)

Nên điều giả sử là sai .

Tức là\(m\le2\)

Mà \(m\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow m\in\left\{1;2\right\}\)

*Với m = 1 thì pt ban đầu trở thành

\(n^2+n+1=\left(1+1-3\right)\left(1-1+5\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2+n+1=-5\)

\(\Leftrightarrow\left(n+\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{23}{4}\)

Pt vô nghiệm

*Với m = 2 thì pt ban đầu trở thành

\(n^2+n+1=\left(2^2+2-3\right)\left(2^2-2+5\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2+n+1=21\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-4\right)\left(n+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow n=4\left(Do\text{ }n\inℕ^∗\right)\)

Vậy pt ban đầu có nghiệm nguyên dương duy nhất (m;n) = (2;4)

Giúp : Cho \(\Delta\)ABC nhọn nội tiếp (O) , D là điểm trên cung BC không chứa A . Dựng hình bình hành ADCE . Gọi H , K là trực tâm của tam giác ABC ,  ACE ; P , Q là hình chiếu vuông góc của K trên các đường thẳng BC , AB và I là giao EK , AC

CMR: a,P ; I ; Q thẳng hàng

          b, đường thẳng PQ đi qua trung điểm HK