1: góc AKP+góc AHP=180 độ

=>AKPH nội tiếp

2: góc KAC=1/2*sđ cung KC

góc OMB=góc CBK(MH//CB)

=>góc OMB=góc KAC

cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), MB cắt (O) tại điểm thứ hai là K cắt CH tại N. CMR :
a) AKNH là tứ giác nt
b)  AM.AM = MK.MB
c) Góc KAC bằng góc OMB

Chịu @- @

 xét tứ giác AK NH có :

góc AKB bằng 90 độ g(óc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Góc AHN bằng 90° (AH vuông góc với hc)

Suy  ra góc AKB + góc AHN bằng 180 độ

 tự giác AHKN  nt 

Xét tam giác ABC có AK vuông góc với MB  suy ra MA. MA=MK. MB

Gọi giao điểm của AC và OM là D phẩy giao điểm của m b với ac là i.

Xét tam giác AiK và tam giác MiD có 

 góc i là góc chung

Góc AKi=góc mdi(=90 độ) 

Suy ra tam giác aik đồng dạng với tam giác min suy ra góc kac bằng goc 0mb

 mình mới giải bài tập nhưng có một số ký hiệu không ghi được bằng bàn phím nên các bạn thông cảm

a: Xét ΔMCD và ΔMEC có

góc MCD=góc MEC
góc CMD chung

=>ΔMCD đồng dạng với ΔMEC

b: Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

=>MA=MC

mà OA=OC

nên OM là trung trực của AC

=>OM vuông góc AC tại K

ΔMCO vuông tại C có CK là đường cao

nên MK*MO=MC^2

c: góc AOC=2*góc AIC=120 độ

=>góc AOM=góc COM=60 độ

Xét ΔCOM vuông tại C có tan COM=CM/CO

=>CM/R=căn 3

=>CM=R*căn 3

a) Dễ thấy: góc MQA=90độ

MA, MC là 2 tiếp tuyến nên MO vuông góc với AC hay góc MIA=90 độ

suy ra AIQM là tứ giác nội tiếp

b) AIQM là tứ giác nội tiếp nên: góc IMQ = góc QAI

mà góc QAI = góc QBC nên góc IMQ = góc QBC 

Hay OM // BC

Noi QI , IN

vi tu giac AIQM noi tiep => \(\widehat{QIC}=\widehat{AMQ}\),

Lai co \(\widehat{AMQ}=\widehat{HNB}=\widehat{QNC}\left(AM//CH\right)\)

=> Tu giac QINC noi tiep

=>\(\widehat{CIN}=\widehat{CQN}=\widehat{CAB}\Rightarrow IN//AH\)

Ma I la trung diem AC => N la trung diem CH

=> \(\frac{CH}{CN}=2\) khong doi khi M di chuyen tren 

dpcm

Tớ không vẽ hình được bạn tự vẽ nhé

a, Vì K thuộc đường tròn đường kính AB

=> AKB=90

Mà CHA=90

=> tứ giác AKNH nội tiếp

Vậy tứ giác AKNH nội tiếp

b,Vì 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M 

nên \(OM\perp AC\)

=>\(OM//CB\)

=> tam giác AMO đồng dạng tam giác HCB

=> ĐPCM

c, Tứ giác AMKI nội tiếp do AIM=AKM=90

KIC=AMK

MÀ AMK=KNC do AM song song CH

=> KIC=KNC

=> tứ giác KINC nội tiếp 

=>KNI=KCI

Mà  KCI=KBA

=> KNI=KBA

=> IN song song AB

Vậy IN song song AB

Mình không viết kí hiệu góc nên bạn thông cảm

d, kéo dài BC cắt AM tại Q

\(\Delta ACQ\) vuông tại C có MA= MC (2 tiếp tuyến cắt nhau)

góc MAC = góc MCA

--> MAC + AQB=MCA+MCQ=90

-->AQB=MCQ-->MC=MQ--> MA=MQ

\(\Delta MAB\sim\Delta NHB\Rightarrow\frac{NH}{MA}=\frac{NB}{MB}\)

\(\Delta QMB\sim\Delta CNB\Rightarrow\frac{CN}{QM}=\frac{BN}{BM}\)

------>>>>........

a.

Do AM là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow AM\perp OA\Rightarrow\widehat{OAM}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 3 điểm O, A, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (1)

Tương tự, do MC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\widehat{OCM}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 3 điểm O, C, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\) 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b.

Do M là giao điểm 2 tiếp tuyến của (O) tại A và C \(\Rightarrow MA=MC\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có \(OA=OC=R\)

\(\Rightarrow OM\)  là trung trực của AC

\(\Rightarrow OM\perp AC\) tại I

c.

Do AB là đường kính và D thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^0\) hay \(AD\perp BM\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BAM với đường cao AD:

\(AM^2=MD.MB\) (3)

Theo c/m câu b ta có \(AI\perp MO\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM với đường cao AI:

\(AM^2=MI.MO\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow MA^2=MI.MO=MD.MB\)

d.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM với đường cao AI:

\(OA^2=OI.OM\)

Mà \(OA=OB=R\Rightarrow OB^2=OI.OM\Rightarrow\dfrac{OI}{OB}=\dfrac{OB}{OM}\)

Xét hai tam giác BOI và MOB có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{OI}{OB}=\dfrac{OB}{OM}\left(cmt\right)\\\widehat{MOB}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta BOI\sim\Delta MOB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OIB}=\widehat{OBM}\)

a: Xét tứ giác ACMO có

\(\widehat{CAO}+\widehat{CMO}=90^0+90^0=180^0\)

=>ACMO là tứ giác nội tiếp

=>A,C,M,O cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc AOM

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OC là phân giác của góc AOM

=>\(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Ta có: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{MOC}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(OM^2=MC\cdot MD\)

mà MC=CA và MD=DB

nên \(AC\cdot BD=OM=R^2\) không đổi

c: Gọi N là trung điểm của CD

Xét hình thang ACDB(AC//DB) có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC

=>ON//AC//BD

=>ON\(\perp\)AB

Vì ΔCOD vuông tại O có N là trung điểm của CD

nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCOD

Xét (N) có

NO là bán kính

AB\(\perp\)NO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến của (N)

=>AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔCOD