đây nhé

Cho mình xin lời giải với

Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)

TH1: \(a;c\) trái dấu 

Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)

Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)

Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)

Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)

b, Ta có : \(0\le x\le1\)

\(\Rightarrow-2\le x-2\le-1< 0\)

Ta có : \(y=f\left(x\right)=2\left(m-1\right)x+\dfrac{m\left(x-2\right)}{\left(2-x\right)}\)

\(=2\left(m-1\right)x-m< 0\)

TH1 : \(m=1\) \(\Leftrightarrow m>0\)

TH2 : \(m\ne1\) \(\Leftrightarrow x< \dfrac{m}{2\left(m-1\right)}\)

Mà \(0\le x\le1\)

\(\Rightarrow\dfrac{m}{2\left(m-1\right)}>1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m-2\left(m-1\right)}{2\left(m-1\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2-m}{m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow1< m< 2\)

Kết hợp TH1 => m > 0

Vậy ...
 

\(x^2-2\left(m-1\right)x-m^3+\left(m+1\right)^2=0\)

Để pt có hai nghiệm thỏa mãn

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\x_1+x_2=2\left(m-1\right)\le4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\left(m-2\right)\left(m+2\right)\ge0\\m\le3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left[-2;0\right]\cup\left(2;+\infty\right)\cup\left\{2\right\}\\m\le3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m\in\left[-2;0\right]\cup\left[2;3\right]\)

\(P=x^3_1+x_2^3+x_1x_2\left(3x_1+3x_2+8\right)\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+3x_1x_1\left(x_1+x_2\right)+8x_1x_2\)

\(=8\left(m-1\right)^3+8\left(-m^3+m^2+2m+1\right)\)

\(=-16m^2+40m\)

Vẽ BBT với \(f\left(m\right)=-16m^2+40m\) ;\(m\in\left[-2;0\right]\cup\left[2;3\right]\)

Tìm được \(f\left(m\right)_{min}=-144\Leftrightarrow m=-2\)

\(f\left(m\right)_{max}=16\Leftrightarrow m=2\)

\(\Rightarrow P_{max}=16;P_{min}=-144\)

Vậy....

Áp dụng định lí viet: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1.x_2=\frac{c}{a}\)

\(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2\right)=a\left[\left(x^2-x_1.x\right)-\left(x_2x-x_1x_2\right)\right]\)

=\(a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)

Do \(P\left(x\right)\) có 3 nghiệm \(x_1;x_2;x_3\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)

Đồng nhất hệ số số hạng tự do với đa thức ban đầu ta được:

\(-x_1x_2x_3=-24\Rightarrow-6x_3=-24\Rightarrow x_3=4\)

Do \(x_3\) là nghiệm, ta có:

\(P\left(x_3\right)=0\Leftrightarrow P\left(4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4^3-9.4^2+4a-24=0\Leftrightarrow4a=104\)

\(\Rightarrow a=26\)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3=9\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a\\x_1x_2x_3=24\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+=9-x_3\\6+x_3\left(x_1+x_2\right)=a\\x_3=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+=9-x_3\\6+4\left(9-x_3\right)=a\\x_3=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+=9-4\\6+4\left(9-4\right)=a\\x_3=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+=9-x_3\\24=a\\x_3=4\end{matrix}\right.\)

Vậy \(a=24\)

Ta có: f(0)=1

<=> ax² +bx+c=1

<=> c=1

          f(1)=0

<=>ax² +bx+c=0

<=> a+b+c=0

mà c=1

=>a+b=-1(1)

      f(-1)=10

<=> ax² +bx +c=10

<=>a-b+c=10

mà c=1

=>a-b=9(2)

Lấy (1) trừ (2) ta được (a+b)-(a-b)=-1-9

                           <=> 2b=-10

                           <=> b=-5

                           =>a=4

Vậy a=4,b=-5,c=1

Nhớ k đúng cho mik