\(A\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)

Ta có \(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\). Áp dụng cho biểu thức A, suy ra \(A\ge\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\right)^4}{8}\). Ta tìm GTNN của \(P=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\). Ta có 

\(P=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2\)

\(P\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\right)+2\)

    \(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}.\left(\dfrac{4^2}{2}\right)+2\) \(=\dfrac{21}{2}\). Do đó \(P\ge\dfrac{21}{2}\) \(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\). Vậy GTNN của A là \(\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\), ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Gợi ý: \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4\)

lại bị trùng rồi quỳnh ơi , https://olm.vn/hoi-dap/detail/76355556031.html

Câu hỏi của Con Heo - Toán lớp 8 - Học trực tuyến OLM

mình nhầm , là tính GTNN nhé , cảm ơn

Bài giải :

Vì x + y = 1 nên \(A=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)=5+\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}\)

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ko âm \(\frac{4x}{y},\frac{y}{x}\), ta có : \(\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{4x}{y}.\frac{y}{x}}=4\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{4x}{y}=\frac{y}{x}\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{cases}}}\)

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)

Áp dụng BĐT Schwarz : \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)

Lại có \(\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{2}{4xy}\ge\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=2\)

Cộng vế với vế được P \(\ge6\) ("=" khi x = y = 1/2)

Vậy Min P = 6 <=> x = y = 1/2 

\(2=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le1.\)

\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)+2013\ge2x^2.2y^2+2013\ge4+2013=2017\)

Min=2017 

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

                                    Lời giải

Dư đoán xảy ra cực trị tại \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Ta biến đổi P như sau: \(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{1}{y}\right)-\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{2x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{2y.\frac{1}{y}}-\left(x+y\right)\)\(=4\sqrt{2}-\left(x+y\right)\)

\(=4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\sqrt{x^2.\frac{1}{2}}+\sqrt{y^2.\frac{1}{2}}\right)\)

\(\ge4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\frac{x^2+y^2+1}{2}\right)=4\sqrt{2}-1\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

Vậy ...