Question

cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện x+y=1.Hãy tìm GTNN của biểu thức:

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}\)

Answer 1

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)

Áp dụng BĐT Schwarz : \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)

Lại có \(\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{2}{4xy}\ge\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=2\)

Cộng vế với vế được P \(\ge6\) ("=" khi x = y = 1/2)

Vậy Min P = 6 <=> x = y = 1/2