Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) với a, b, c là các số hữu tỉ không âm, biết rằng a + 3c = 2019 và a + 2b = 2020. Chứng minh \(f\left(1\right)\le2019\frac{1}{2}\)
giúp mình với, ai nhanh vào đúng tick cho
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) với a,b,c là các số hữu tỉ không âm. Biết a+3c=2019 và a+2b=2020. Chứng minh rằng \(f\left(1\right)\le2019\frac{1}{2}\)
Ta có: a + 3c + a + 2b = 2019 + 2020 = 4039
=> 2 ( a + b + c ) = 4039 - c (1)
a; b ; c là các số hữu tỉ không âm => a; b ; c \(\ge\)0
=> 2 ( a + b + c ) = 4039 - c \(\le\)4039
=> a + b + c \(\le\frac{4039}{2}=2019\frac{1}{2}\)
mà f(1) = a + b + c
=> f (1) \(\le2019\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> c = 0 ; a = 2019 ; b = 1/2
cho đa thức f(x)=ax2 + bc + c với a,b,c là các số hữu tỉ ko âm. biết a+3c=2019 và a+2b=2020, cm f(1) \(\le\)2019\(\frac{1}{2}\)
\(f\left(x\right)=ax^{2\: }+bx+c\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=a\cdot1^2+b\cdot1+c=a+b+c\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a+3c=2019\\a+2b=2020\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a+3c+a+2b=2019+2020\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+3c=4039\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)+c=4039\)
Vì a,b,c không âm => 2(a+b+c)\(\le2\left(a+b+c\right)+c=4039\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)=4039\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{4039}{2}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=2019\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)\le2019\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+2020\) có các hệ số a,b là các số hữu tỉ và \(f\left(\sqrt{3}-1\right)=2021\). Tìm a,b và tính \(f\left(1+\sqrt{3}\right)\)
\(f\left(x\right)=ax^2+bx+2020\\ \Leftrightarrow f\left(\sqrt{3}-1\right)=a\left(4-2\sqrt{3}\right)+b\left(\sqrt{3}-1\right)+2020=2021\\ \Leftrightarrow4a-2a\sqrt{3}+b\sqrt{3}-b-1=0\\ \Leftrightarrow\left(4a-b-1\right)-\sqrt{3}\left(2a-b\right)=0\\ \Leftrightarrow4a-b-1=\sqrt{3}\left(2a-b\right)\)
Vì a,b hữu tỉ nên \(4a-b-1;2a-b\) hữu tỉ
Mà \(\sqrt{3}\) vô tỉ nên \(\sqrt{3}\left(2a-b\right)\) hữu tỉ khi \(2a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b-1=0\\2a-b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow f\left(1+\sqrt{3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(4+2\sqrt{3}\right)+1+\sqrt{3}+2020=2023+2\sqrt{3}\)
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + 2019 có hệ số a, b là các số hữu tỉ và \(f\left(1+\sqrt{2}\right)=2020.\)
Tìm a, b và tính \(f\left(1-\sqrt{2}\right)\)
f(x) = ax\(^2\)+bx + 2019
=> \(f\left(1+\sqrt{2}\right)=a\left(1+\sqrt{2}\right)^2+b\left(1+\sqrt{2}\right)+2019=2020\)
<=> \(a+2\sqrt{2}a+2a+b+\sqrt{2}b-1=0\)
<=> \(\left(3a+b-1\right)+\sqrt{2}\left(2a+b\right)=0\)(1)
Vì a, b là số hữu tỉ => 3a + b -1 ; 2a + b là số hữu tỉ khi đó:
(1) <=> \(\hept{\begin{cases}3a+b-1=0\\2a+b=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b=-2\end{cases}}\)
=> \(f\left(1-\sqrt{2}\right)=2020\)
f(x)=ax^2 +bx+c với a,b,c là số hữu tỉ ko âm. biết a+3c=2019 và a+2b=2020. chứng minh rằng f(1)bé hơn hoặc bằng 2019 +1/2(hợp số)
mn giúp mình vs ak
Ta có: \(F\left(1\right)=a\cdot1^2+b\cdot1+c=a+b+c\)(1)
Ta có: a+3c=2019
\(\Leftrightarrow3c=2019-a\)
hay \(c=\frac{2019-a}{3}\)(2)
Ta có: a+2b=2020
\(\Leftrightarrow2b=2020-a\)
\(\Leftrightarrow b=\frac{2020-a}{2}\)(3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta được:
\(F\left(1\right)=a+\frac{2020-a}{2}+\frac{2019-a}{3}\)
\(\Leftrightarrow F\left(1\right)=\frac{6a+3\left(2020-a\right)+2\left(2019-a\right)}{6}\)
bài 1
a) cho B = \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{7}{2^3}+...+\frac{2^{100}-1}{2^{100}}\). Chứng minh B >99
b)chứng minh \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...\left(2n\right)⋮2^n\)với n nguyên dương
c) cho đa thức f(x) = ax^3 + bx^3 + cx + d . với f(0) và f(1) là các số lẻ. CMR f(x) không có nghiệm là số nguyên.
Cho a,b,c là các số thực và \(a\ne0\). Chứng minh rằng nếu đa thức \(f\left(x\right)=a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c\) vô nghiệm thì phương trình \(g\left(x\right)=ax^2+bx-c\) có hai nghiệm trái dấu
Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)
TH1: \(a;c\) trái dấu
Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)
Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)
Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Mà a; c trái dấu nên:
- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)
- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu
\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)
Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)
Cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) (a ,b,c là các số thực )
a) Biết 10a+2b-5c=0 . Chứng minh\(f\left(-1\right).f\left(-4\right)\ge0\)
b) Biết 13a + b + 2c=0 . Chứng minh \(f\left(-2\right).f\left(3\right)\le0\)
Lời giải:
a.
$f(-1)=a-b+c$
$f(-4)=16a-4b+c$
$\Rightarrow f(-4)-6f(-1)=16a-4b+c-6(a-b+c)=10a+2b-5c=0$
$\Rightarrow f(-4)=6f(-1)$
$\Rightarrow f(-1)f(-4)=f(-1).6f(-1)=6[f(-1)]^2\geq 0$ (đpcm)
b.
$f(-2)=4a-2b+c$
$f(3)=9a+3b+c$
$\Rightarrow f(-2)+f(3)=13a+b+2c=0$
$\Rightarrow f(-2)=-f(3)$
$\Rightarrow f(-2)f(3)=-[f(3)]^2\leq 0$ (đpcm)
a.
�
(
−
1
)
=
�
−
�
+
�
f(−1)=a−b+c
�
(
−
4
)
=
16
�
−
4
�
+
�
f(−4)=16a−4b+c
⇒
�
(
−
4
)
−
6
�
(
−
1
)
=
16
�
−
4
�
+
�
−
6
(
�
−
�
+
�
)
=
10
�
+
2
�
−
5
�
=
0
⇒f(−4)−6f(−1)=16a−4b+c−6(a−b+c)=10a+2b−5c=0
⇒
�
(
−
4
)
=
6
�
(
−
1
)
⇒f(−4)=6f(−1)
⇒
�
(
−
1
)
�
(
−
4
)
=
�
(
−
1
)
.
6
�
(
−
1
)
=
6
[
�
(
−
1
)
]
2
≥
0
⇒f(−1)f(−4)=f(−1).6f(−1)=6[f(−1)]
2
≥0 (đpcm)
b.
�
(
−
2
)
=
4
�
−
2
�
+
�
f(−2)=4a−2b+c
�
(
3
)
=
9
�
+
3
�
+
�
f(3)=9a+3b+c
⇒
�
(
−
2
)
+
�
(
3
)
=
13
�
+
�
+
2
�
=
0
⇒f(−2)+f(3)=13a+b+2c=0
⇒
�
(
−
2
)
=
−
�
(
3
)
⇒f(−2)=−f(3)
⇒
�
(
−
2
)
�
(
3
)
=
−
[
�
(
3
)
]
2
≤
0
⇒f(−2)f(3)=−[f(3)]
2
≤0 (đpcm
Bài 1 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(A=\frac{27-12x}{x^2+9}\)
Bài 2 : Cho 2 số chính phương liên tiếp. Cmr : Tổng của 2 số đó + với tích của chúng = 1 số chính phương lẻ
Bài 3 : Cho đa thức \(F\left(x\right)=x^3+\text{ax}^2+bx+c\) (Với a, b, c ∈ R ). Biết đa thức F( x ) chia cho đa thức x + 1 dư - 4, đa thức F( x ) chia cho đa thức x - 2 dư 5
Hãy tính giá trị của \(A=\left(a^{2019}+b^{2019}\right)\left(b^{2020}-c^{2020}\right)\left(c^{2021}+a^{2021}\right)\)
Nguyễn Lê Phước Thịnh White Hold HangBich2001 Phạm Vũ Trí Dũng Nguyễn Huyền Trâm