Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O),kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn(M là tiếp điểm). Kẻ dây MN vuông góc với AO tại H. Kẻ cát tuyến ABC với đường tròn( điểm B nằm giữa A và C). a)CM: AN là tiếp tiếp tuyến. b)Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, gọi I là trung điểm của BC. CM:OI.OK=ON.ON(ON bình) và 3 điểm K,H,N thẳng hàng
a: Ta có: ΔOMN cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác củagóc MON
Xét ΔOMA và ΔONA có
OM=ON
góc MOA=góc NOA
OA chung
Do đó: ΔOMA=ΔONA
=>góc ONA=90 độ
=>AN là tiếp tuyến của (O)
b: Xét (O) có
KC,KB là tiếp tuyến
nên KC=KB
=>K năm trên trung trực của BC(1)
ΔOBC cân tại O
mà OI là trung tuyến
nên OI là trung trực của BC(2)
Từ (1), (2) suy ra O,I,K thẳng hàng
=>OK vuông góc với BC tại I
=>OI*OK=OB^2=ON^2
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn (M là tiếp điểm). Kẻ dây MN vuông góc với AO tại H. Kẻ đường thẳng đi qua A cắt đường tròn tại B,C(điểm B nằm giữa A và C). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh 4 điểm B,C,O,K cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Chứng minh OI.OK=ON² d) Chứng minh M,N,K thẳng hàng.
a: Xét tứ giác OBKC có \(\widehat{OBK}+\widehat{OCK}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBKC là tứ giác nội tiếp
=>O,B,K,C cùng thuộc một đường tròn
b: Ta có: ΔOMN cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc MON
Xét ΔMOA và ΔNOA có
OM=ON
\(\widehat{MOA}=\widehat{NOA}\)
OA chung
Do đó: ΔMOA=ΔNOA
=>\(\widehat{OMA}=\widehat{ONA}\)
=>\(\widehat{ONA}=90^0\)
=>AN là tiếp tuyến của (O)
c: Xét (O) có
KB,KC là tiếp tuyến
Do đó: KB=KC
=>K nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của BC
=>OK\(\perp\)BC tại I và I là trung điểm của BC
Xét ΔOBK vuông tại B có BI là đường cao
nên \(OI\cdot OK=OB^2\)
=>\(OI\cdot OK=ON^2\left(3\right)\)
d: Xét ΔNOA vuông tại N có NH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=ON^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(OI\cdot OK=OH\cdot OA\)
=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)
Xét ΔOIA và ΔOHK có
\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)
\(\widehat{HOK}\) chung
Do đó: ΔOIA đồng dạng với ΔOHK
=>\(\widehat{OIA}=\widehat{OHK}\)
=>\(\widehat{OHK}=90^0\)
mà \(\widehat{OHM}=90^0\)
nên K,H,M thẳng hàng
mà M,H,N thẳng hàng
nên K,M,N thẳng hàng
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) bán kính R,kẻ hai tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm)
a)Chứng minh rằng:A,M,O,N cùng thuộc một đường tròn.
b)Gọi H là giao điểm của AO và MN.Biết AO=2R.Tính AH,OH theo R.
c)Từ A kẻ cát tuyến A,B,C bất kì(B nằm giữa A và C)tiếp tuyến tại B của đường tròn (O)cắt AM,AN theo thứ tự tại P và Q.Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt tia AM tại I và cắt tia AN tại K.Chứng minh rằng:IP+KQ\(\ge\)IK
Cho đường tròn tâm O, A là điểm nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AM và AN, đường kính MP và cát tuyến AIQ với đường tròn (M, N là tiếp điểm; I và Q thuộc đường tròn; I nằm giữa A và Q; tia AQ nằm giữa AP và AO). PI, PQ cắt đường thẳng AO lần lượt tại E và F. Chứng minh:
a. Tứ giác MANO và tứ giác NIEA nội tiếp
b. OE = OF
Câu 1: Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của (O) (B,C: tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của (O); D nằm giữa D & E; tia AD nằm giữa 2 tia AB và AO.
a) Gọi H là giao điểm của OA và BC. C/m: DEOH nội tiếp
b) Đường thẳng AO cắt (O) tại M và N (M nằm giữa A và O). C/m: EH.AD= MH.AN
Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm C trên đường tròn sao cho CA=CB. Gọi M là trung điểm của dây cung AC. Nối BM cắt cung AC tại E; AE và BC kéo dài cắt nhau tại D.
a) C/m: MOCD là hình bình hành
b) Vẽ đường tròn tâm E bán kính EA cắt (O) tại điểm thứ 2 là N. Kẻ EF vuông góc với AC, EF cắt AN tại I, cắt (O) tại điểm thứ 2 là K; EB cắt AN tại H. C/m: BHIK nội tiếp.
Câu 3: Cho (O;R). Từ điểm S nằm ngoài đường tròn sao cho SO=2R. Vẽ tiếp tuyến SA,SB (A,B là tiếp tuyến). Vẽ cát tuyến SDE (D nằm giữa S và E), điểm O nằm trong góc ESB. Từ O kẻ đường vuông góc với OA cắt SB tại M. Gọi I là giao điểm của OS và (O).
a) C/m: MI là tiếp tuyến của (O)
b) Qua D kẻ đường vuông góc với OB cắt AB tại H và EB tại K. C/m: H là trung điểm của DK.
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn . Qua a kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm ) . Tia Ax nằm giữa AB và AO cắt đường tròn O,R tại 2 điểm C và D (C nằm giữa A và D ) . Gọi M là trung điểm của dây CD, kẻ BH vuông góc với AO tại H
a/ tính OH . AO theo R
b/ cho góc ABC = góc ADB . Chứng minh AC.AD=AH.AOvà cho góc CHO=góc CDO =180°
c/Qua C kẻ tiếp tuyến thứ hai Cho với đuờng tròn (O) cắt OM tại E. Chứng minh điểm E,H,B thẳng hàng.
a: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên OH*OA=OB^2=R^2
b: Xét ΔABC và ΔADB có
góc ABC=góc ADB
góc BAC chung
Do đó; ΔABCđồng dạng với ΔADB
=>AB/AD=AC/AB
=>AB^2=AD*AC
=>AD*AC=AH*AO
Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến AM,AN với M,N là tiếp điểm. a) CMR: bốn điểm A,M,O,N cùng thuộc 1 đường tròn. b) Vẽ cát tuyến ABC tới (O) sao cho tia AO nằm giữa tia AM và tia AC.Chứng minh rằng: AM2 = = AB.AC c) Gọi H là giao điểm của AO và MN.CMR: 4 điểm B,H,O,C cùng thuộc một đường tròn. d) CMR: HN là tia phân giác của góc BHC.
a) Xét tứ giác OMAN có
\(\widehat{OMA}\) và \(\widehat{ONA}\) là hai góc đối
\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: OMAN là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
hay O,M,A,N cùng thuộc một đường tròn(đpcm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn . Qua A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn ( B là tiếp điểm ) . Vẽ tia Ax nằm giữa tia AB và tia AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa A và D ) . Gọi M là trung điểm của dây CD , kẻ BH vuông góc với AO tại H .
a, Tính tích OH.OA theo R
b, chứng minh 4 điểm A , B , M , O cùng thuộc một đường tròn
c, Gọi E là giao điểm của OM với HB . Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn ( O;R )
a: OH*OA=OB^2=R^2
b: ΔOCD cân tại O
mà OM là trung tuyến
nên OM vuông góc với CD
Xét tứ giác OMBA có
góc OMA=góc OBA=90 độ
nên OMBA là tứ giác nội tiếp
c: Xét ΔOHE vuông tại H và ΔOMA vuông tại M có
góc MOA chung
Do đó: ΔOHE đồng dạng với ΔOMA
=>OH/OM=OE/OA
=>OM*OE=OH*OA=R^2=OC^2=OD^2
=>ΔODE vuông tại D
=>DE là tiếp tuyến của (O)
Kẻ hộ mk hình Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (BC không đi qua O, B nằm giữa A và C). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là hai tiếp điểm, M thuộc mặt phẳng bờ AC có chứa điểm O), gọi H là trung điểm của BC.
