Có P(x)=3x^4+x^2+1/4

   Vì 3x^4 \(\ge\) 0  Với mọi x

         x^2 \(\ge\) 0   Với mọi x

    nên 3x^4+x^2 \(\ge\) 0 với mọi x

=>3x^4+x^2+1/4 \(\ge\) 0+1/4 >0   với mọi x

=>P(x) > với mọi x 

Vậy P(x) vô nghiệm

Đặt f(x) = ax2 + bx + c

P(x)=-8x^3+6x^3+2x^3+3x^4-3x^4+4x^2-2020+2025

=4x^2+5>=5>0 với mọi x

=>P(x) không có nghiệm

P(\(x\)) = \(x^4\) + 3\(x^2\) - 4033 

P(\(x\)) = \(x^4\) + 2.\(\dfrac{3}{2}\)\(x^2\) + \(\dfrac{9}{4}\) - \(\dfrac{16141}{4}\)

P(\(x\)) = (\(x^2\) + \(\dfrac{3}{2}\))² - \(\dfrac{16141}{4}\)

P(\(x\)) = 0 ⇔ (\(x^2\) + \(\dfrac{3}{2}\))² - \(\dfrac{16141}{4}\) = 0

              ⇒ (\(x^2\) + \(\dfrac{3}{2}\))² = \(\dfrac{16141}{4}\) 

                     \(x^2\) + \(\dfrac{3}{2}\) = - \(\sqrt{\dfrac{16141}{4}}\) (loại)

                      \(x^2\) + \(\dfrac{3}{2}\) = \(\sqrt{\dfrac{16141}{4}}\) 

                     \(x^2\)  = \(\sqrt{\dfrac{16141}{4}}\) - \(\dfrac{3}{2}\) > 0

                     \(x\) = \(\mp\) \(\sqrt{\sqrt{\dfrac{16141}{4}}-\dfrac{3}{2}}\)

      Vậy việc chứng minh: P(\(x\)) vô nghiệm là không xảy ra 

Sửa đề : `P(x)=x^{4}+3x^{2}+4033`

Ta thấy : `x^{4},3x^{2}\ge0` với mọi `x`

`=>x^{4}+3x^{2}\ge0`

`=>P(x)=x^{4}+3x^{2}+4033\ge 4033>0`

Vậy `P(x)` vô nghiệm ( Do không có giá trị x thỏa mãn để `P(x)=0` )

Δ=1^2-4*1*4=-15<0

=>PTVN

f(x)=x²+x+1=x²+\(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

      =\(x\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{3}{4}\)

      =\(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{^2}+\dfrac{3}{4}\)

=>f(x)≥\(\dfrac{3}{4}\)

=>đa thức trên vô nghiệm

Bài này có nhiều cách, vừa rồi là cách cơ bản, còn nếu bạn muốn nâng cao chút thì có thể dùng cách này nha:

Xét x≥0 thì x+1>0

       x(x+1)≥0=>x(x+1)+1>0 =>x²+x+1>0                               (1)

Xét -1<x<0 thì x+1≤0. Ta lại có x²≥0 nên x²+x+1 >0                   (2)

Xét x≤-1 thì x<0 và x+1≤0. Do đó

    x(x+1) ≥0=>x(x+1) +1>0=>x²+x+1>0                           (3)

Từ (1), (2), (3)=> đa thức f(x) vô nghiệm

`***`:Cách khác  bạn dưới

`x^2+x+1=0`

`Delta=b^2-4ac`

`=1-4=-4<0`

`=>` pt vô no

vì x^2 >hoặc= 0 (với mọi giá trị của x)

Suy ra x^2-3x+12 > 0 (với mọi x)

Suy ra x^2-3x+12 khác o

Suy ra x^2-3x+12 vô nghiệm

Tham khảo:x^2-5x+20 
ta có: x^2-5x+20=x^2-2/5x-2/5x+25/4-25/4+20 
=(x^2-2/5x)-(2/5x-25/4)-25/4+80/4 
=x(x-2/5)-2/5(x-2/5)+55/4 
=(x-2/5)(x-2/5)+55/4 
=(x-2/5)^2+55/4 
Ta có: (x-2/5)^2>=0 Với x thuộc R 
(x-2/5)^2+55/4>=55/4>0 
=>Đa thức không có nghiệm

\(-3x^2+x-2=-3\left(x^2-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)\)

\(=-3\left(x^2-2.x.\frac{1}{6}+\frac{1}{36}-\frac{1}{36}+\frac{2}{3}\right)\)

\(=-3\left[\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{23}{36}\right]=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2-\frac{23}{12}\)

Đa thức luôn âm \(\Rightarrow\)phương trình vô nghiệm 

\(-3x^2+x-2=-3\left(x^2-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)\)

\(=-3\left(x^2-2x.\frac{1}{6}+\frac{1}{36}-\frac{1}{36}+\frac{2}{3}\right)\)

\(=-3\left[\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{23}{36}\right]\)

\(=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2-\frac{23}{12}\)

=> Phương trình luôn vô nghiệm