cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. vễ AH vuông góc với BC,keHM,HN vuông góc với AB,AC.đường kính AE cắt đường tròn tại I, tria MN cắt (O,R). chứng minh AH=AK
Cho▲ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ AH vuông góc với BC. Từ H, kẻ HM ⊥ AB và HN ⊥ AC (H ∈ BC, M ∈ AB, N ∈ AC). Vẽ đường kính AE cắt MN tại I, tia MN cắt (O;R) tại K. Chứng minh: a) Tứ giác AMHN nội tiếp b) AM.AB=AN.AC c) AE ⊥ MN d)C/M: AH=AK
cần gập ạ , giúp với
a) xét tứ giác AHMN có:
\(\widehat{AHM}+\widehat{ANH}=90^o+90^o=180^o\)
=> Tứ giác AHMN nội tiếp
b) Xét tam giác vuông AHB đường cao HM
=> AM.AB=AH2
Xét tam giác vuông AHC có đường cao HN
=> AN.AC=AH2
=> AM.AB=AN.AC
c) Nối BE
AE là đường kính, B thuộc đường tròn
=> \(\widehat{ABE}=90^o\Rightarrow\widehat{CBE}+\widehat{ABH}=90^o\)
Mà \(\widehat{CBE}=\widehat{CAE}\)(cùng chắn cung CE)
=> \(\widehat{CAE}+\widehat{ABH}=90^o\)=> \(\widehat{CAE}=\widehat{BAH}\)(cùng phụ \(\widehat{ABH}\))
=> \(\widehat{BAE}=\widehat{HAC},\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\)(cùng chắn cung AN, tứ giác ANHM nội tiếp)
=> \(\widehat{BAE}+\widehat{AMN}=\widehat{HAC}+\widehat{AHN}=90^o\)
=> \(\widehat{AOM}=90^o\Rightarrow AE\perp MN\)
d) Xét tam giác AKE vuông tại K, KI là đường cao
=> AI.AE=AK2
Xét tam giác AN và tam giác ACE có: \(\widehat{AIN}=\widehat{ACE}=90^o\)
\(\widehat{AIN}\)chung
\(\Rightarrow\Delta AIN\)đồng dạng với tam giác ACE (gg)
=> \(\frac{AI}{AC}=\frac{AN}{AE}\Leftrightarrow AI\cdot AE=AC\cdot AN\)
Mà AN.AC=AH2
=> AK2=AH2 => AH=AK
giá như bạn trả lời sớm hơn thì tốt quá , giờ tớ ko cần lắm @@ , lúc thi trực tuyến đăng bài ko có ai giải , sau khi vừa kết thúc thì có người giải ^^
Cho▲ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ AH vuông góc với BC. Từ H, kẻ HM ⊥ AB và HN ⊥ AC (H ∈ BC, M ∈ AB, N ∈ AC). Vẽ đường kính AE cắt MN tại I, tia MN cắt (O;R) tại K. Chứng minh: a) Tứ giác AMHN nội tiếp b) AM.AB=AN.AC c) AE ⊥ MN d)C/M: AH=AK
cần gấp ạ , giúp câu d với ạcho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) và nội tiếp đường tròn ( O ). Vẽ đường cao AH, ( H thuộc BC ) , từ H kẻ HM vuông góc với AB ( M thuộc AB ) và kẻ HN vuông góc với AC ( N thuộc AC ). Vẽ đường kính AE của đường tròn ( O ) cắt MN tại I. Tia MN cắt ( O) tại K. chứng minh rằng
a, AMHN nội tiếp
b, \(\Delta AMN\sim\Delta ACB\)
c, CEIN nội tiếp và tam giác AHK cân
a, Ta có: $HM⊥AB;HN⊥AC$
$⇒\widehat{HMA}=\widehat{HNA}=90^o$
$⇒\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=180^o$
$⇒$ Tứ giác $AMHN$ nội tiếp (Tổng 2 góc đối $=180^o$)
b, Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$
Đường cao $HM$ (do $HM⊥AB$)
Nên $AH^2=AM.AB(1)$
Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$
Đường cao $HN$ (do $HN⊥AB$)
Nên $AH^2=AN.AC(2)$
Từ $(1)(2)⇒AM.AB=AN.AC$
$⇒\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$
Xét tam giác $AMN$ và tam giác $ACB$ có:
$\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$
$\widehat{A}$ chung
$⇒$ tam giác $AMN$ $\backsim$ tam giác $ACB(c.g.c)$
(đpcm)
c, tam giác $AMN$ $\backsim$ tam giác $ACB$
$⇒\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$
Xét $(O)$ có: $\widehat{ABC}=\widehat{AEC}$ (các góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)
Nên $\widehat{ANM}=\widehat{AEC}$
Hay $\widehat{ANI}=\widehat{IEC}$
$⇒$ Tứ giác $CEIN$ nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh = góc trong đỉnh đối diện)
c, Ta có: $\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$
Mà $\widehat{ABC}+\widehat{AKC}=180^o$
do tứ giác $ABCK$ nội tiếp $(O)$
Nên $\widehat{ANM}+\widehat{AKC}=180^o$
Mà $\widehat{ANM}+\widehat{ANK}=180^o$
Nên $\widehat{AKC}=\widehat{ANK}$
Xét tam giác $AKC$ và tam giác $ANK$ có:
$\widehat{AKC}=\widehat{ANK}$
$\widehat{A}$ chung
nên tam giác $AKC$ $\backsim$ tam giác $ANK(g.g)$
$⇒\dfrac{AK}{AN}=\dfrac{AC}{AK}$
$⇒AK^2=AN.AC$
mà $AH^2=AN.AC(cmt)$
$⇒AK^2=AH^2$
hay $AK=AH$
suy ra tam giác $AHK$ cân tại $A$
Nguyễn Lê Phước Thịnh
Akai Haruma Trần Đức Mạnh Nguyễn Việt Lâm
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). OM vuông góc AB, ON vuông góc AC (M thuộc AB, N thuộc AC).
1) CM tứ giác AMON nội tiếp.
2) AH vuông góc BC tại H. I là trung điểm AO. Dây AE đường tròn tâm I đường kính AO sao cho AE // BC. HE cắt MN tại K. CM IK vuông góc BC.
3) HE cắt đường tròn tâm I đường kính AO tại D. CM DM là tia phân giác góc BDE.
1: góc AMO+góc ANO=180 độ
=>AMON nội tiếp
2: ΔOAB cân tại O
mà OM là đường cao
nên M là trung điểm của AB
ΔOAC cân tại O
mà ON là đường cao
nên N là trung điểm của AC
=>NM là đừog trung bình
=>MN//BC
=>MN//AE
=>AMNE là hình thang cân
=>AM=EN; AN=EM
ΔAHB vuông tại H có HM là trung tuyến
nên HM=AB/2=MA=MB
ΔHAC vuông tại H có HN là trung tuyến
nên HN=AN=CN=AC/2
=>HM=EN; HN=EM
=>HMEN là hình bbình hành
=>K làtrung điểm của MN
=>IK vuông góc MN
=>IK vuông góc BC
3: goc MDE+gó MDH=180 độ
=>góc MDE=góc MBH
=>BMDH nội tiếp
=>góc MDB=góc MHB=góc MBH
=>góc MDB=góc MDE
=>DM là phân giác của góc BDE
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). OM vuông góc AB, ON vuông góc AC (M thuộc AB, N thuộc AC).
1) CM tứ giác AMON nội tiếp.
2) AH vuông góc BC tại H. I là trung điểm AO. Dây AE đường tròn tâm I đường kính AO sao cho AE // BC. HE cắt MN tại K. CM IK vuông góc BC.
3) HE cắt đường tròn tâm I đường kính AO tại D. CM DM là tia phân giác góc BDE.
1: góc AMO+góc ANO=180 độ
=>AMON nội tiếp
2: Gọi giao EO và BC là P
AE//BC
AE vuông góc OE
=>OE vuông góc BC
=>OP vuông góc BC
=>P là trung điểm của BC
AEPH là hình chữ nhật
=>AE=PH
EJ giao BC=J
=>AE=JC
=>JC=HP
=>HJ=PC=BC/2=MN
=>HMNJ là hình bình hành
=>HM//NJ và HM=NJ
=>HM//EN và HM=EN
=>EMHN là hbh
=>K là trung điểm của MN
=>IK vuông góc MN
=>IK vuông góc BC
B1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường cao AH, đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại điểm F.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp
c) Gọi I là trung điểm của B
C.Chứng minh AI vuông góc với EF
d) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEF
C.Tính diện tích hình tròn tâm K.
B2: Cho ABC nhọn, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D, CE cắt BD tại H
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b) AH cắt BC tại F. chứng minh FA là tia phân giác của góc DFE
c) EF cắt đường tròn tại K ( K khác E). chứng minh DK// AF
d) Cho biết góc BCD = 450 , BC = 4 cm. Tính diện tích tam giác ABC
B 3: cho đường tròn ( O) và điểm A ở ngoài (O)sao cho OA = 3R. vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp tuyến )
a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O) tại D ( khác B). đường thẳng AD cắt ( O) tại E. chứng minh AB2= AE. AD
c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA
d) Tính diện tích tam giác BDC theo R
B4: Cho tam giác ABC nhọn, AB >AC, nội tiếp (O,R), hai đường cao AH, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp? Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b) Tia BH cắt AC tại E. chứng minh HE.HB= HF.HC
c) Vẽ đường kính AK của (O). chứng minh AK vuông góc với EF
d) Trường hợp góc KBC= 450, BC = R. tính diện tích tam giác AHK theo R
B5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Ba đương cao AE, BF, CK cắt nhau tại H. Tia AE, BF cắt đường tròn tâm O lần lượt tại I và J.
a) Chứng minh tứ giác AKHF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh hai cung CI và CJ bằng nhau.
c) Chứng minh hai tam giác AFK và ABC đồng dạng với nhau
B6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ),các đường cao BE, CF .
a)Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
b)Chứng minh OA vuông góc với EF.
B1, a, Xét tứ giác AEHF có: góc AFH = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
góc AEH = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Góc CAB = 90o ( tam giác ABC vuông tại A)
=> tứ giác AEHF là hcn(đpcm)
b, do AEHF là hcn => cũng là tứ giác nội tiếp => góc AEF = góc AHF ( hia góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
mà góc AHF = góc ACB ( cùng phụ với góc FHC)
=> góc AEF = góc ACB => theo góc ngoài tứ giác thì tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp (đpcm)
c,gọi M là giao điểm của AI và EF
ta có:góc AEF = góc ACB (c.m.t) (1)
do tam giác ABC vuông tại A và có I là trung điểm của cạng huyền CB => CBI=IB=IA
hay tam giác IAB cân tại I => góc MAE = góc ABC (2)
mà góc ACB + góc ABC + góc BAC = 180o (tổng 3 góc trong một tam giác)
=> ACB + góc ABC = 90o (3)
từ (1) (2) và (3) => góc AEF + góc MAE = 90o
=> góc AME = 90o (theo tổng 3 góc trong một tam giác)
hay AI uông góc với EF (đpcm)
HỎI TỪNG CÂU THÔI !
cho tam giác abc có 3 góc nhọn, vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. BE và CD cắt nhau tại H
a)Chứng minh IO vuông góc DE
b)AH kéo dài cắt BC ở F. CMR: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDFE
a) Xét (O) có
ΔDBC nội tiếp đường tròn(D,B,C∈(O))
BC là đường kính(gt)
Do đó: ΔDBC vuông tại D(Định lí)
⇒CD⊥BD tại D
⇒CD⊥AB tại D
⇒HD⊥AD tại D
Xét ΔADH có HD⊥AD tại D(cmt)
nên ΔADH vuông tại D(Định nghĩa tam giác vuông)
Ta có: ΔADH vuông tại D(cmt)
mà DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(I là trung điểm của AH)
nên \(DI=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)
Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C∈(O))
BC là đường kính(gt)
Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)
⇒BE⊥CE tại E
⇒BE⊥AC tại E
⇒HE⊥AE tại E
Xét ΔAEH có AE⊥EH tại E(cmt)
nên ΔAEH vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)
Ta có: ΔAEH vuông tại E(cmt)
mà EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(I là trung điểm của AH)
nên \(EI=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ID=IE
hay I nằm trên đường trung trực của DE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: OD=OE(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của DE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Từ (3) và (4) suy ra OI là đường trung trực của DE
hay OI⊥DE(đpcm)
Bài 6. (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC tại điểm H. a.Tính độ dài AH, CH b. Kẻ OK vuông góc với AH tại K và tia OK cắt AC tại D. Chứng minh: DH là tiếp tuyến của đường tròn (O) c. Từ trung điểm I của AK kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường tròn tại điểm M. Chứng minh: AM = AK.
Cho đường tròn ( I ), ( O ) nội tiếp , ngoại tiếp tam giác ABC . AI cắt ( O ) tại D .
a, Tam giác BDI là tam giác gì ?
b, Gọi M là trung điểm của BC . Kẻ AH vuông góc với BC . Gọi K là giao điểm của AH , MI . Chứng minh AK = r , r là bán kính của đường tròn tâm I .