Gọi P là trung điểm AH, Q là trung điểm DH \(\Rightarrow\) PQ là đường trung bình tam giác ADH \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}PQ//AD\\PQ=\frac{1}{2}AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}PQ//BM\\PQ=BM\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow PQMB\) là hbh \(\Rightarrow BP//MQ\)

Mặt khác \(PQ//AD\Rightarrow PQ\perp AB\Rightarrow\) P là trực tâm tam giác ABQ

\(\Rightarrow BP\perp AQ\Rightarrow MQ\perp AQ\) (với AQ là trung tuyến kẻ từ A của ADH)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng MQ nhận \(\left(1;-7\right)\) là 1 vtpt

Phương trình MQ: \(1\left(x+1\right)-7y=0\Leftrightarrow x-7y+1=0\)

Q là giao AQ và MQ nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x-7y+1=0\\7x+y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow Q\left(\frac{2}{5};\frac{1}{5}\right)\)

Q là trung điểm DH \(\Rightarrow D\left(2;-1\right)\)

Phương trình đường thẳng qua O và song song AB có dạng: $x-y=0$

$\Rightarrow$ Tọa độ M là nghiệm của hệ: {x+3y−6=0x−y=0{x+3y−6=0x−y=0 $\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$

Phương trình đường thẳng BC qua M, nhận $\left(1;1\right)$ là 1 vtpt có dạng:

$1\left(x-\frac{3}{2}\right)+1\left(y-\frac{3}{2}\right)=0\iff x+y-3=0$

Tọa độ B là nghiệm của hệ: {x−y+5=0x+y−3=0{x−y+5=0x+y−3=0 $\Rightarrow B$

M là trung điểm BC $\Rightarrow$ tọa độ C

O là trung điểm AC $\Rightarrow$ tọa độ A

O là trung điểm BD 

a/ CD qua E và vuông góc BC nên pt có dạng:

\(1\left(x-6\right)-1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x-y-6=0\)

Ta có: \(AB=d\left(A;BC\right)=\frac{\left|3+5-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=3\sqrt{2}\)

\(AD=d\left(A;CD\right)=\frac{\left|3-5-6\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=4\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=AB.AD=24\)

b/ Do M thuộc d nên tọa độ có dạng: \(M\left(1+t;2-3t\right)\)

Áp dụng công thức khoảng cách:

\(d\left(M;\Delta\right)=4\Leftrightarrow\frac{\left|3\left(1+t\right)+4\left(2-3t\right)+5\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=4\)

\(\Leftrightarrow\left|16-9t\right|=20\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}16-9t=20\\16-9t=-20\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-\frac{4}{9}\\t=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(\frac{5}{9};\frac{10}{3}\right)\\M\left(5;-10\right)\end{matrix}\right.\)

H là hình chiếu điểm nào

I là trung điểm AC \(\Rightarrow C\left(2;-2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CM}=\left(2;-1\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC có dạng:

\(1\left(x-2\right)+2\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow x+2y+2=0\)

Đường thẳng AB qua A và vuông góc BC nên nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(2\left(x+1\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x-y+4=0\)

B là giao điểm AB và BC nên tọa độ là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+2=0\\2x-y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(...\right)\)

I là trung điểm BD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=2x_I-x_B=...\\y_D=2y_I-y_B=...\end{matrix}\right.\)

ĐÁP ÁN: B

Thay tọa độ A vào 2 pt đường thẳng không thỏa mãn, vậy đó là 2 pt đường thẳng của các cạnh BC và CD

\(\Rightarrow\) Khoảng cách từ A đến 2 đường thẳng nói trên bằng độ dài 2 cạnh của hcn

\(\Rightarrow S=d\left(A;\Delta_1\right).d\left(A;\Delta_2\right)=\dfrac{\left|3-2.\left(-1\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}.\dfrac{\left|2.3-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=6\)